1.1.2 四种命题精品学案

1.1.2四种命题

1．1.3 四种命题间的相互关系

【学法指导】: 在本节的学习中，不要去死记硬背形式化的定义与模式，而应多通过具体实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这种关系对命题真假作出判断，从而体会正难则反思想的应用．

【学习目标】

1．了解四种命题的概念．

2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题．

3．理解四种命题的关系．

4．会利用命题的等价性解决问题．

一、自主研读

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做_互逆命题__．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的_互逆命题____．也就是说，如果原命题为

“若p，则q”，那么它的逆命题为_互逆命题

__．

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做_互否命题___．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_否命题___．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”．

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若¬q，则¬p”．

2．四种命题的相互关系

若q，则p

若¬p，则¬q

3．四种命题的真假性之间的关系

若¬q，则¬p

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 二、合作探究

探究点一

四种命题的概念

问题1

观察下列四个命题：

(1)若两个角是对顶角，则它们相等；

(2)若两个角相等，则它们是对顶角；

(3)若两个角不是对顶角，则它们不相等；

(4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．

问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

(1)若两个角是对顶角，则它们相等；

(2)若两个角相等，则它们是对顶角；

(3)若两个角不是对顶角，则它们不相等；

(4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．

答案：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．

对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

(1)若两个角是对顶角，则它们相等；

(2)若两个角相等，则它们是对顶角；

(3)若两个角不是对顶角，则它们不相等；

(4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．

问题2

若(1)为原命题，则(2)为(1)的逆命题，(3)为(1)的否命题，(4)为(1)的逆否命题．

问题3 在四种命题中，原命题是固定的吗？

答案

不是，任何一个都能作为原命题．

例1

把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解

(1)原命题：“如果a是正数，则a的平方根不等于0”．

逆命题：“如果a的平方根不等于0，则a是正数”．

否命题：“如果a不是正数，则a的平方根等于0”．

逆否命题：“如果a的平方根等于0，则a不是正数”．

(2)原命题：“如果x＝2，则x2＋x－6＝0”．

逆命题：“如果x2＋x－6＝0，则x＝2”．

否命题：“如果x≠2，则x2＋x－6≠0”．

逆否命题：“如果x2＋x－6≠0，则x≠2”．

小结

写已知命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(1)实数的平方是非负数；

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．

原命题是真命题．

逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

跟踪训练2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．

原命题是真命题．

逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；

否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；

逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．

探究点二

四种命题的关系

问题1通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？ 答案：原命题为真，它的逆命题，否命题不一定为真．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 问题2原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？ 答案：原命题为真，它的逆否命题一定为真，两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．

问题3四种命题中，真命题的个数可能为多少？

答案：四种命题中，真命题的个数可能为0,2,4. 结论：原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同．

例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中的真命题是__________．

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．

所以真命题是①②③. 答案

①②③

小结

(1)在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，

直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．

(2)不论用哪种方法判断命题的真假，都要和相关的数学知识结合，因此要熟练掌握相关的数学知识．

跟踪训练2 有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是( B ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析

①否命题是“若x＋y≠0，则x、y不互为相反数”．真命题．

②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．

③否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”．假命题．

④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．

探究点三

等价命题的应用

问题

我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？

答案

反证法与逆否证法都是证明命题的方法．它们在以下几个方面是相同的：

(1)依据相同，都是利用原命题与逆否命题的等价性；

(2)起步相同，都是从非q(即否定结论)出发；

(3)思想相同，都是正难则反的数学思想．

但是又有所区别：

(1)目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“非p”(即否定条件)．

(2)本质不同，逆否证法实质是证明一个新命题成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论．

例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－

a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明

方法一：

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，

若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

方法二：

假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0. 小结

在解答命题的过程中很容易把逆否命题的证法与反证法混淆，导致错误的原因是忽视了这两种证法的本质区别

跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为

“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0 ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.

当堂检测

1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( B ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

解析：否命题是既否定题设又否定结论．

因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”

2．命题“如果x2<1，则－1

原命题结论“－1

4．给出以下命题：

①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是①③．

解析

①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．

∴逆否命题为真．

小结

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所有命题．

2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础。