1.2.1 充要条件第一课时评课稿

1.2充分条件与必要条件（第2课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1．正确理解充要条件的定义，了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；

2．能正确判断充要条件，充分不必要，必要不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；

3．能认识对条件的判定其实就是判断命题的真假．

（二）学习重点

1．充分性和必要性的判断；

2．运用充分性和必要性解题．

（三）学习难点

充分性和必要性的判断．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）如果pq且qp，则p叫做q的_________条件；

（2）如果pq且qp，则p叫做q的_________条件；

（3）如果pq且qp，则p叫做q的_________条件；

（4）如果pq且qp，则p叫做q的_________条件．

【答案】充要；充分不必要

必要不充分

既不充分也不必要

预习自测

1．A,B是ABC的两个内角，p:sinAsinBcosAcosB；q:ABC是钝角三角形．则p是q成立的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件，三角函数．

【解题过程】因为sinAsinBcosAcosB，所以cos(AB)0．即cosC0，所

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以角C为钝角，充分性成立；而ABC为钝角三角形，角C不一定为钝角，必要性不成立．

【思路点拨】三角形ABC中，cos(AB)cosC．

【答案】A 2．命题p:a2，命题q:直线ax3y10与直线6x4y30垂直．则p是q成立的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件，直线垂直的判断．

【解题过程】a2时，直线为2x3y10，可以计算26+34120,所以两直线不平行，充分性不成立；由两直线平行可得6a+340,即a2，所以必要性不成立．

【思路点拨】直线A1xB1yC10与直线A2xB2yC20垂直，则A1A2B1B20．

【答案】D 3．已知函数f(x)xbcosx，其中b为常数,那么是“f(x)为奇函数”“b0”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件，函数奇偶性．

b0时，f(x)x，【解题过程】显然为奇函数，充分性成立；当f(x)xbcosx为奇函数时，由其定义域为R可知f(0)0,即0bcos00解得b0，必要性成立．

【思路点拨】

奇函数中若定义域可取0，则定有f(0)0成立．

【答案】C 4．“sincos”是“2k,kZ”的（

）

4A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

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C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件，三角函数．

【解题过程】当sincos时，即tan=1，所以k，kZ充分性不成4立；当2k，kZ时tan=1，即sincos，必要性成立．

4【思路点拨】

三角函数求值．

【答案】B (二)课堂设计

1.知识回顾

（1）充分条件和必要条件的定义；

（2）充分条件和必要条件的判定．

2．问题探究

探究一

结合实例理解充分必要条件

●活动①

回顾旧知，引入概念

已知命题p：整数a=4k1(kZ)；命题q：整数a是奇数．请问：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？（抢答）

提示：要判断p是否是q的充分条件，就要看p是否能推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q是否能推出p．

显然p⇒q，p是q的充分条件，q⇒p，p是q的必要条件．此时我们就说p是q的充分必要条件．

【设计意图】通过学生熟悉的例子，自然过渡到充分必要条件的概念，容易理解和接受．

●活动②

结合实例，提取概念

一般地，如果p⇒q且q⇒p，就记作pq．此时，就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然如果p是q的充分必要条件，则q也是p的充分必要条件．

说明：在讨论p是q的什么条件时，一般指的是以下四种情况之一：

（1）如果pq且qp，则p叫做q的充要条件；

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（2）如果pq且qp，则p叫做q的充分不必要条件；

（3）如果pq且qp，则p叫做q的必要不充分条件；

（4）如果pq且qp，则p叫做q的既不充分也不必要条件．

【设计意图】通过类比，得到其余三种形式的条件．

●活动③

运用反馈，巩固概念

例1 “m＝1”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝02互相垂直”的(

) A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】

(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要1条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，即(m＋2)(4m－2)＝0. ∴m＝－2，或m＝2. 故为充分不必要条件．

【思路点拨】根据垂直计算出参数的值再判断．

【答案】B．

同类训练

“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的（

）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，但ab＋d”，由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，

“a>b且c>d”∴

为必要不充分条件．

【思路点拨】不等式的性质．

【答案】A．

【设计意图】通过训练，熟悉充分必要条件的判断．

探究二

从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件

●活动①

运用概念

探求新知

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请同学们快速判断下列各题中，p是q的什么条件？你能发现什么？

（1）p:x2q:x1;

（2）p:x2q:x1;

（3）p:x2q:x2;

（4）p:x2q:x1;

【设计意图】促使学生学会用集合的包含观点理解充分条件和必要条件．

●活动②

知识点归纳

从集合的角度理解充分条件与必要条件：

设集合Px|p(x)|，Q=x|q(x)．

（1）pq，相当于PQ，即

或

即：要使xQ成立，只要xP就足够了．

（2）qp，相当于QP，即

或

即：为使xQ成立，必须要使xP．

可以归纳为以下六点：

（1）

若PQ，则p是q的充分条件．

（2）

若QP，则p是q的必要条件．

（3）

若P=Q，则p是q的充要条件．

（4）

若PQ，则p是q的充分不必要条件．

（5）

若QP，则p是q的必要不充分条件．

（6）

若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件．

●活动③

运用反馈，巩固概念

例2 若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，q是s的必要条件，则：

（1）s是p的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

【知识点】充分条件、必要条件．

【数学思想】

【解题过程】画出集合图像分析．

【思路点拨】运用集合的包含关系．

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【答案】（1）必要不充分条件；（2）充要条件．

同类训练

已知命题p：|x－8|≤2，q：x－1>0，r：x2－3ax＋2a2<0(a>0)．若命x＋1题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．

【知识点】充分条件、必要条件．

【数学思想】

【解题过程】命题p即：6≤x≤10；命题q即：x>1；命题r即：a

2a10【思路点拨】运用集合的包含关系．

【答案】a的取值范围是5

3.

课堂总结

知识梳理

1.充分条件、必要条件、充要条件的定义；

2.充分、必要条件判断的几种方法：定义法、等价法、集合间的包含关系．

重难点归纳

1. 判断充分、必要条件时要分清楚条件和结论，然后尝试从条件推结论，若成立，则充分性具备，再从结论推条件判断必要性是否成立，一定要注意分类讨论；

2. 判断充分、必要条件几种方法的灵活运用．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．“x＞0”是“x0”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件的判定．

【解题过程】x＞0，则x0；反之，x0，不一定x＞0．

【思路点拨】不等式的性质．

【答案】A

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2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件的判定．

【解题过程】显然，充分性不成立．

若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b，即由“a－c＞b－d”“a＞b”．所以选B．

【思路点拨】不等式的性质．

【答案】B

3．已知a,b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0

”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件的判定．

【解题过程】“a0且b0”可以推出“ab0且ab0

”，反之也成立的，故是充分必要条件．

【思路点拨】不等式的性质．

【答案】C

π14．“α＝6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝2”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件的判定．

π11π【解题过程】α＝6＋2kπ(k∈Z) ⇒cos2α＝2；cos2α＝2⇒α＝2kπ6

(k∈Z) 【思路点拨】已知角求三角函数值和已知三角函数值求角，注意周期性．

【答案】A 5．“x＞0”是“3x20”成立的（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件

D．充要条件

【知识点】充要条件的判定．

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【解题过程】x＞0显然能推出3x2>0；

而3x20⇔x0⇔x0，不能推出x＞0．

故为充分不必要条件，故选A．

【思路点拨】本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分正反两个方向进行．

【答案】A 6．若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则（

）

A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】∵非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集

由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C

由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B

∴选B 【思路点拨】运用集合的包含关系．

【答案】B 能力型

师生共研

7．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件的判定．

【解题过程】注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．

【思路点拨】涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目，不要漏掉过原点的情形．

【答案】B 8．下列命题中的真命题有（

）

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

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BA

∴不一定有x∈A

→→②△ABC中，AB·BC<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；

③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；

④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【知识点】命题真假的判定．

【解题过程】①两直线平行不一定有斜率，所以①假；

→·→<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，AB→·→的符②由ABBCBC号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，所以②假；

③显然为真；

④由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，∴cos(A＋B)<0，即cosC>0．∴角C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．

π反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>2，∴cos(A＋B)<0，∴cosAcosB

∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．

【思路点拨】充要条件的判定．

【答案】B 探究型

多维突破

9．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（

）

A．α，β都平行于直线l，m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

【知识点】平面平行的判定．

【解题过程】A中，当a,l//m//a时不能推出//；C中，当l//m时不能推出//.B中三点位于两平面交线的两侧时，如图：

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AB∥l，α∩β＝l，A与C到l的距离相等时，A、B、C到β的距离相等．

【思路点拨】每个选项分别判断，找出特殊情况进行排除．

【答案】D 10．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．

【知识点】充要条件．

【解题过程】①l1∥l3时，k＝5；

②l2∥l3时，k＝－5；

③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10．

【思路点拨】当有直线平行或三直线交于一点时，不能构成三角形．

【答案】5,5,10

自助餐

1．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．

【知识点】充分、必要条件的判断．

rr【解题过程】若a与b夹角为钝角，则cos0，所以a·b=abcos<0；反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．

rr【思路点拨】a·b=abcos．

【答案】必要不充分

2．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”；q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．

【知识点】充分、必要条件的判断．

【解题过程】只有当①对于任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p

q，qp

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∴p是q的必要不充分条件．

【思路点拨】函数最值．

【答案】必要不充分

3．k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的____________条件．

【知识点】充分、必要条件的判断．

【解题过程】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，

∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；

y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于(5b由交y轴于负半轴，,0)，k4b－5<0交x轴于正半轴可知5－bk－4>0【答案】充分必要条件

b<5∴k>4

【思路点拨】一次函数图象问题．

4．设x、y为实数，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充分且必要条件是xy0．

【知识点】充分、必要条件的证明．

【数学思想】

【解题过程】充分性：当xy0时，

若x＝0或y＝0，|x＋y|＝|x|＋|y|显然成立．

若xy>0，则x、y同号．

当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y

∴|x＋y|＝|x|＋|y| 若x<0，y<0时，|x＋y|＝－x－y，|x|＋|y|＝－x－y

∴|x＋y|＝|x|＋|y| ∴综上所述，知xy≥0⇒|x＋y|＝|x|＋|y| 必要性：∵|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方得：x2＋y2＋2xy＝x2＋y2＋2|xy| ∴xy＝|xy|，∴xy≥0

∴|x＋y|＝|x|＋|y|⇒xy≥0

∴xy≥0是|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

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【思路点拨】证明不等式．

【答案】见解题过程

5．方程y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？

【知识点】充分、必要条件．

y＝a|x|a【解题过程】解法一：依题意有，即a|x|＝x＋a，当x>0时，x＝>0，a－1y＝x＋a解得a>1或a<0(舍)；

－a当x<0时，x＝<0，解得a>0或a<－1(舍)．

a＋1∴两曲线y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)有两个交点的充要条件是a>1．

解法二：如图所示，数形结合可知a>1成立．

【思路点拨】数形结合．

【答案】a>1 6．设α、β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？

【知识点】充分、必要条件的判断．

a>2【解题过程】根据韦达定理得a＝α＋β，b＝αβ，判定的条件是p：结论b>1，α>1，是q：(还要注意条件中需要满足大前提Δ＝a2－4b≥0)

β>1.α>1(1)由得a＝α＋β>2，b＝αβ>1，∴q⇒p. β>1，

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11(2)为了说明pq，可以举出反例：取α＝4，β＝2，它满足a＝α＋β＝4＋2>2，1b＝α·β＝4×2＝2>1，且满足Δ>0，但q不成立．

由上述讨论可知：a>2且b>1是α>1，β>1的必要但不充分条件．

【思路点拨】把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么，然后再验证p⇒q还是q⇒p，还是p⇔q．

【答案】必要不充分条件

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