习题2.2ppt配套的板书设计及意图

2.2.1 直线与平面平行的判定

教学内容解析

本节教材选自人教A版数学必修Ⅱ第二章第二节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．结合有关的实物模型，通过直观感知、合情推理、探究说理、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．

教学目标

1、知识与技能：了解空间中直线与平面的位置关系，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理。

3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化（降维）的思想，增强学习的积极性。在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题转化为平面问题的一般方法．

通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识

教学重、难点

重点：空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理及应用。

难点：判定定理的应用，例题的证明。

学生学情分析

通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．

教学过程

(一)复习回顾、铺陈蓄势

教师简单回顾了之前学习的课程内容后，面向全体同学提出问题1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系，并请一位学生代表上黑板作图表示直线与平面的位置关系，其余同学在座位上同步完成．

接着，多媒体幻灯片展示了空间直线与平面的三种位置关系的三种语言表示．同时强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a．

引导学生回顾总结空间直线与平面的三种位置关系是按照直线与平面的公共点的个数来分类的．

直线在平面内的情形公理1已经解决，直线与平面相交的情形将在后续课程中研究，本节课我们将研究直线与平面平行这一位置关系．

面向全体同学提出问题2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．

设计意图：教学预设以教师为指导，充分尊重学生的学习主体地位．从建构主义理论来

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看，学生原有认知结构是新授课的基础．本节课学生已有的知识储备是直线与平面平行的定义．教学预设从数学学科内部发展的顺序来说明本节课学习任务的确定，从数学学科内部发展的需要来引起认知冲突并说明本课学习的必要性，逻辑性强，利于知识系统的主动建构．

（二）列举实例、直观感知

面向全体同学提问：在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？

（师生充分交流，学生容易指出教室的日光灯与地面平行、黑板的边缘与地面平行、足球场上球门的横梁与足球场平行等等．）

设计意图：使学生有充分的具体情境下的认知体验，为后续内容做好铺垫，引导学生学自己身边的数学，学有用的数学．通过充分的直观感知，努力促进学生空间观念的构建．

列举身边的实例后，面向全体同学抛出问题1：单凭感觉可靠吗？

（让学生单凭直观感觉，判断直线a与平面α是否平行）

进而给出问题2：该怎样判定直线与平面平行呢？

a 设计意图：问题1是为了设置一个有争议的情境，眼见不一定为实，进而调动学生的探究欲望．问题2是为下面动手操作、合作探究，发现判定定理作了一个引子，埋了一个伏笔．

（三）动态演示、抽象概括

α

从同学们列举的日光灯的实例出发，学生容易发现如果将日光灯平稳下降，最终日光灯管会平稳地落到地面内来，通过多媒体动态演示这一过程．将．．．．原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，同学们可以发现a//b（强调直线a，b没有公共点）．

教师引导学生发现直线a与b没有公共点．在平面α内平移b，得到直线c，不难发现a//c（强调直线a，c没有公共点）．

紧接着，提出问题，直线a能与平面α内的无数条直线都平行吗？（能）

教师追问，直线a与平面α内的这无数条直线有公共点吗？（没有）

教师带领全体同学思考一个问题：“反过来，直线a与平面α内的无数条直线都平行，则a与平面α平行吗？”

（此处可能是需要突破的地方，视学生反应情况可以辅以几何画板软件展示无数条直线无限细密地“铺满”平面．）

教师追问，直线a与平面内的无数条直线都平行，a与这些直线有公共点吗？（没有）

结合几何画板的展示过程，提问：直线a与平面α有公共点吗？（没有）

教师继续追问：直线a与平面α没有公共点意味着什么？（a//α）

教师充分肯定同学们的发现后，揭示数学本质：平面α内的任一点均在直线a的某条平行线上，于是，直线a与平面α没有公共点，即a//α．

之后，教师追问：“需要平面外的直线a与平面α内的无数条直线都平行吗？”（不需要！）追问：“几条就可以了？”（一条！）

“为什么？”（平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到）

教师此时可抓住时机，面向全体同学发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行．

（四）动手操作、实验确认

接下来，教师引导学生通过动手实验操作，进一步确认定理的正确性．

然后请同学们考虑该定理用符号语言应当怎样表述？并请一位同学上黑板板演，教师及时纠正．

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经历了前面的探究过程，学生不难指出该定理前提条件的三个关键词：“平面外”、“平面内”、“平行”．

a

b符号语言：a//

图形语言：

a//b



接下来，请同学们指出我们在“空间图形的基本关系”一课中用图形表示空间直线与平面平行的合理性．为防止学生因为思维定势造成的负迁移，教师通过实物展示空间直线与平面平行的其它情形（将上图中直线a，b作水平旋转得到如图所示的情形）．同时强调只要在平面内找到一条直线与平．．面外的直线平行即可．

最后，教师引导学生指出此处渗透的处理立体几何问题的基本思想：将空间问题降维转化为平面问题解决（线线平行线面平行）．

设计意图：定理的发现与论证过程采用了“观察模型—直观感知—理性分析—抽象概括—操作确认—思考探究”的方式展开．新课程教材中回避了定理的理论证明，但考虑到数学的理性精神及良好的学情状况，在定理的生成过程中仍然强调了“说理”．在教师的引导下，经过推理，定理生成．考虑到学生主体未能直接动手操作，印象未必深刻．为此，设计了两个学生活动，让他们在动手操作中体会定理的正确性，给他们充分的思考时间与空间，让他们主动建构新知．

定理生成后，①教师强调三种数学语言的转化，利用判定定理反观线面平行的图形表示的合理性，并通过直观演示，防止学生出现思维定势；②教师及时给出关于直线与平面平行的两个假命题，继续从反面强调定理成立的三个要素缺一不可．以上的教学预设与生成都是从学生的最近发展区设计问题，帮助学生主动辨明定理的实质，教师在其中板演的角色仍然是一个组织者和引导者，学习的主体是学生．

（五）定理运用、形成技能

想一想

判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达

（1）若a,a//b,则a// （2）若a,b,则a//

（3）若b,a//b,则a//

证一证：

例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。

求证：EF // 平面BCD。

证明：连接BD，因为AE = EB，AF = FD，

所以EF // BD（三角形中位线的性质），

因为EF平面BCD，BD平面BCD，

由直线与平面平行的判定定理得EF //

平面BCD。

小结：要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。

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全班同学尝试解答的同时，请一位同学上黑板解答，教师及时规范学生的答题，适时点评．师生共同总结出运用定理的关键是找线（平面内）线（平面外）平行．

面向全体同学提问，初中平面几何中，我们学习了哪些判定直线与直线平行的方法？

（利用三角形的中位线、、平行四边形来证两条直线平行）

例2：已知在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF //

平面BDD1B1。

分析：要证明线面平行，根据线面平行的判定定理，只需证明EF与平面BDD1B1内的一条直线平行即可。

小结：1、证明线面平行可先证线线平行，但要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的直线。

2、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。

设计意图：“想一想”的设置是为了进一步从反例出发促使学生对判定定理的准确理解．“证一证”是为了让学生通过动手尝试证明问题，掌握运用定理解决问题的一般方法，并进一步从实践操作层面体会运用定理需满足的三个要点缺一不可，学生经历了解题过程后主动发现运用定理的关键是找平行线． （六）收获感悟、总结提高

由学生口头总结，然后教师归纳总结：

一、直线与平面平行的判定定理；

二、证明直线与平面平行的方法；

三、运用判定定理时的几个要点；

四、运用定理的关键：找平行线；

五、立体几何的基本思想：化归．

（七）课后练习、加强巩固

1、如图，四棱锥A—DBCE中，O 为底面正方形DBCE的中心，F为AE的中点，求证：AB // 平面DCF。

2、如图，在长方体ABCD–A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

第1题 第2题

（八）板书设计

平行关系的判定

多媒体投影区域

直线与平面平行的判例2

定定理

小结

例1 作业

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