1.2.1 充分条件与必要条件教案设计范例

1.2.1充分条件与必要条件

【学习目标】

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；

2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；

3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系. 4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

【要点梳理】

要点一、充分条件与必要条件

充要条件的概念

符号pq与pq的含义

“若p，则q”为真命题，记作：pq；

“若p，则q”为假命题，记作：pq. 充分条件、必要条件与充要条件

①若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件. ②如果既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件. 要点诠释：对pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q. ①“若p，则q”为真命题；

②p是q的充分条件；

③q是p的必要条件

以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达. 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

②若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；

③若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，q：x∈B，

①若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A是B的

真子集，则p是q的充分不必要条件；

③若A=B，则p、q互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.

要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件. 要点三、充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释：对于命题“若p，则q”

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若q，则p”为真命题；

②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若p，则q”为真命题；

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1.指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1) p: (x2)(x3)0，

q: x2；

2(2) p: c0，q: 抛物线yaxbxc过原点

(3) p: 一个四边形是矩形，q: 四边形的邻边相等

【解析】

(1)∵p: x2或x3, q: x2

∴pq且qp,∴p是q的必要不充分条件；

(2)∵pq且qp,∴p是q的充要条件；

(3)∵pq且qp，∴p是q的既不充分条件也不必要条件. 【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定. 举一反三：

【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：AB，q：A和B是对顶角. 2（2）p:x1，q:x1；

【答案】

（1）∵pq且qp，

∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件. （2）∵q:x21x1或x1

∴x1x1，但x1x1，

∴p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件. （1）p:a0且b0, q:ab0

22（2）p:【答案】

x1, q: xy. y（1）p是q的充分不必要条件. ∵a0且b0时，ab0成立；

反之，当ab0时，只要求a、b同号即可. ∴必要性不成立. （2）p是q的既不充分也不必要条件

∵x1在y0的条件下才有xy成立. y∴充分性不成立，同理必要性也不成立. 【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】

例2. 已知p：0

）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

【解析】q：|x-1|<2，解得-1

QP如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，

3

X-1

O1

2

从图中看PQ，

pq，但qp，所以选择（A）.

【总结升华】

①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；

②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断. 举一反三：

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】

【变式1】设xR，则条件“x2”的一个必要不充分条件为（

）

A.x1

B.x1

C.x3

D.x3

【答案】A 【变式2】（2015

天津文）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（

）

A．

充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】由|x－2|＜1

－1＜x－2＜1－1＜x＜3，可知“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件. 故选:A. 【变式3】

(2015

福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或lα；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B．

类型二：充要条件的探求与证明

例3.

设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【解析】

（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，

于是|x+y|=|x|+|y| 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|. 总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|. （2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，

∴xy≥0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题. 判断命题的充要关系有三种方法：

（1）定义法；

（2）等价法，即利用AB与BA；BA与AB；AB与AB的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法. （3）利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要

条件；若A=B，则A是B的充要条件. 举一反三：

【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】

（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,

∵ac<0, ∴x1·x2=c<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. a（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，

则x1·x2=c<0，∴ac<0 a综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】

（1）a=0时适合. （2）当a≠0时，显然方程没有零根，

10a0；

若方程有两异号的实根，则必须满足a44a01a020a1

若方程有两个负的实根，则必须满足0a44a0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1

类型三：充要条件的应用

例4.

已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，

∵p是q的充分不必要条件，

∴pq，即AB，

可知A或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内

0a12∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.

242a101a10【总结升华】

解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可. 举一反三：

【变式1】已知命题p：1－c0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．

【答案】0

【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以AB或A不是B的子1c11c1集且B不是A的子集，所以，①或，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，1c71c7又c>0，综上所述得0

【变式2】已知p:|1件，求m的取值范围. 【答案】m9

【解析】由x22x1m20(m0)解得1mx1m

又由|1x1|2,q:x22x1m20(m0),若p是q的充分不必要条3x1|2解得2x10

3p是q的充分不必要条件，所以

m0m01m2,或1m2,

1m101m10解得m9