习题2.1特级教师教学实录

课题： 2.1曲线与方程 习题课

时间：2019年11月19日下午第二节

地点：县一中多媒体教室4

班级：高二（11）班

单位：县一中

设计人：朱良军

2.1 曲线与方程 习题课

【教学目标】

知识目标：通过实例理解曲线与方程的概念；能根据定义判断方程与曲线的关系，并解决一些简单的问题。

能力目标：学生在学习新知识的过程中，了解概念形成的过程，培养学生的抽象概括能力，并进一步学习用代数的方法去讨论图形的性质，渗透数形结合的思想。

情感态度与价值观: 在教学中优化学生的思维品质，培养学生辨证统一的思想。培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】

形成“方程的曲线”与“曲线的方程”的概念，领会数形结合的思想方法。

【教学难点】

正确理解曲线和方程的关系。以及“曲线的方程”的证明。

【教学方法】

发现、合作、讲解、演练相结合. 【教具准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、复习回顾: 我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为____________。

2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________。

3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________。

（设计目的：用以前所学过的知识自然过渡到本节课的内容）

二、讲解新课：

（一）探究新知

1、说明：平分第一、三象限的直线方程是x-y=0 第一、三象限角平分线l(曲线)点的横坐标和纵坐标相等（条件）

x-y=o（方程）

关系：1.l上点的坐标都是方程x-y=0的解

2.以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上

结论：则直线l的方程是xy0,又说方程xy0的直线是l

.

2、思考：圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为: （尝试让学生解释）

曲线：以C(a,b)为圆心，r为半径的圆C 条件：圆上的点到圆心的距离等于半径r

1 2

(x-a)+(y-b)=r

22

方程:(x-a)2+(y-b)2=r2

关系：（1）曲线C上点的坐标都是方程的解。

（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上。

（二）新知定义:

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. （三）概念理解:

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形. 2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”

,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外. （纯粹性）

3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）

4.由定义知：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0, y0)=0 （四）例题解析: 例1 :判断下列命题是否正确

(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的曲线方程为︱xy︱=1 解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1. (3)正确. 例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的曲线方程是xy=±k.

证明：(1)如图，设M(x0,y0)是曲线上的任意一点，因为点M与x轴的距离为y0,与y轴的距离为x0,所以x0y0k,即(x0,y0)是方程xyk的解。 (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xyk的解，即x1y1k,即x1y1k

而x1,y1正是点M1到y轴、x轴的距离，因此点M1到两条坐标轴的距离的积是常数k,点M1是曲线上的点。由(1),(2)可知，xyk是与两条坐标轴的距离。的积为常数k(k0)的点的曲线方程。归纳小结:

证明已知曲线的方程的方法和步骤：

应该从二个方面加以证明，即证明纯粹性和完备性，最后总结。

（1）设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；

（2）设M1(x1,y1)是

f(x,y)=0的解，证明点M1(x1,y1)在曲线C上. （3）由（1）、（2）知，已知方程是所求曲线的方程。

2

（五）巩固练习:

练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？

(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线

(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+y =0（如图（2））; (3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为

y=1/︱x︱.(如图(3)）

y 1 y 1 y 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 x

解：（1）不是 （2）不是 （3）是

练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？

(1)xy0 (2)xy0 (3)xy0

Y 1 O 1 X Y 1 O 1 X -Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X O

-解：（1）表示B （2）表示C （3）表示D 练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C

B.坐标满足f(x,y)=0 的点都在曲线C上

C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C

D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部

（六）课堂小结:

1.曲线的方程和方程的曲线定义

2.已知方程判断对应的曲线和已知曲线判断对应的方程。

3.已知曲线方程的证明方法

（七）布置作业: 1、课本P37 练习 第1题

习题2.1 A组 第1题

2、预习 §2.1.2

3

（八）板书设计

§2.1.1 曲线与方程

1、方程的曲线和曲线的方程 例题讲解 辅助

2、概念理解 学生练习 板书

3、曲线的方程的证明方法和步骤

（九）教后反思

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