1.1.1 命题课件配套优秀公开课教案设计

1．1

命题及其关系

1．1．1

命

题

1．理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题．

2．能判断命题的真假．

3．能把命题改写成“若p，则q”的形式．

1．命题的概念

(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．

(2)分类：

真命题：判断为真的语句命题

假命题：判断为假的语句2．命题的形式

命题的一般形式为“若p，则q”．

其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

(1)命题的形式

①有的命题有明确的条件p和结论q，而有的命题不明显；

②确定命题的条件和结论时，最好把命题写成“若p，则q”的形式．

(2)判断命题“若p，则q”的真假

能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q，则说明命题为真．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x＝4时，2x＞0是命题．(

) (2)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(

) (3)一个命题不是真命题就是假命题．(

) (4)有的命题只有结论没有条件．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

下列语句中命题的个数是(

) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．

A．1

答案：D

下列命题是真命题的是(

) A．所有素数都是奇数

B．若a>b，则a－6>b－6成立

C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立

D．方程x2＋x＋1＝0有实根

答案：B

命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为________，结论为________．

答案：一个三角形为等腰三角形

这个三角形的两个底角相等

探究点1

命题的判断

判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)若a与b是无理数，则ab是无理数；

(3)3x2≤5；

(4)梯形是不是平面图形呢？

(5)x2－x＋7＞0．

【解】

(1)是陈述句，并且它是假的，所以是命题．

(2)是陈述句，并且它是假的，所以是命题．

(3)无法判断真假，所以不是命题．

(4)是疑问句，所以不是命题．

127x－＋＞0，所以是真的，所以是命题．

(5)因为x－x＋7＝2422B．2

C．3

D．4

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．

下列语句是命题的有________．(填序号) (1)x2－1＝0有一个根是－1；

(2)垂直于同一条直线的两直线必平行吗？

(3)一个数不是正数就是负数；

(4)若x＋y为有理数，则x、y也是有理数．

解析：(1)是命题，能判断其真假．

(2)不是命题．该语句为疑问句，没有对垂直于同一直线的两直线是否平行作出判断．

(3)是命题．0既不是正数，也不是负数，判断其为假．

(4)是命题．取x＝3，y＝－3知其是假命题．

答案：(1)(3)(4)

探究点2

命题真假的判断

判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则a2>b2；

(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；

(3)若a、b都是奇数，则ab必是奇数；

(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切．

【解】

(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，

有a>b，但a2

(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出判断．

(3)为真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，

则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，

显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．

(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝2小于圆的半径1，直线与圆相交．

2

[变结论]若将本例(3)中“ab”改为“a＋b”，则结果如何？

解：取a＝3，b＝7，则a＋b＝10为偶数，故命题错误，为假命题．

判断命题真假的方法

(1)真命题的判定方法

要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．

(2)假命题的判定方法

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

(2018·广东深圳第二高级中学月考)给出下列命题：

①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；

②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；

③若x2＞x，则x＞1；

④函数y＝x3是指数函数．

其中假命题的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C．①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C．

探究点3

命题的结构形式

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac＞bc时，a＞b；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【解】

(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．

(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．

(1)将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

(2)命题改写中的注意点

若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式．

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2．

解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

1．下列四个语句是命题的是(

) ①2＋2是无理数；②1＋1＞2；③奇数的平方仍是奇数；④连接A，B两点．

A．①③

C．④

答案：B 2．下列命题是真命题的是(

) 11A．若＝，则x＝y

xyC．若x＝y，则x＝y

答案：A 3．命题“二次函数最多有两个零点”中的条件是____________________，结论是______________________________．

解析：命题为“若一个函数是二次函数，则它最多有两个零点”，所以条件是“一个函数是二次函数”，结论是“这个函数最多有两个零点”．

答案：一个函数是二次函数

这个函数最多有两个零点

4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)末位数字是0的整数能被5整除；

(2)偶函数的图象关于y轴对称；

(3)菱形的对角线互相垂直．

解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．

(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．

(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．

知识结构

1．对判断的理解

所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清，命题的实质是对某一前提条件下的相应的结论的一个判断，

这个判断可能正确也可能错误．

2．命题改写应注意的两点

深化拓展

B．若x2＝1，则x＝1 D．若x＜y，则x2＜y2

B．①②③

D．②④

(1)在对命题进行改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法，例如命题“在△ABC中，若a＞b，则A＞B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．

(2)对多个条件的命题进行改写时，可选择适当的条件作为大前提．如“若a＞b，c＞0，则ac＞bc”，可改写为“已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc”．这对研究命题的形式有很大的帮助．

[学生用书P85(单独成册)]) [A

基础达标] 1．下列语句中，不能成为命题的是(

) A．5＞12 B．x＞0 C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0 D．三角形的三条中线交于一点

解析：选B．A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．

2．下列说法正确的是(

) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

解析：选D．对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D．

3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

) A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

解析：选C．把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．

4．下列命题中真命题的个数为(

) ①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a＞b，则a＋c＞b＋c；

④矩形的对角线互相垂直．

A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选A．①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直．

5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4

C．0

B．2 D．－3 解析：选C．方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．

6．(2018·上海普陀高二(上)调研试卷)已知命题“函数f(x)＝cos2ωx－sin2ωx的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．

2π解析：依题意，得f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＝cos 2ωx，所以1．

2ω＝π，解得ω＝±答案：±1 7．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．

答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

8．给出下列命题：

①在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B；

②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；

③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；

ππ2x＋的图象．

④若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，则得到函数y＝sin44其中真命题的序号是________．

解析：①在△ABC中，A＞B⇒a＞b⇒sin A＞sin B．正确．

ππ2x＋的②③易知正确．④将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin24图象．

答案：①②③

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；

(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除．

解：(1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．

(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．

10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

1(1)当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实根；

4(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．

1解：(1)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根．真命题．

4(2)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0．真命题．

[B

能力提升] 11．对于任意实数a，b，c，d，有下列命题：

①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；

②若ac2＞bc2，则a＞b；

11③若a＞b，则＜；

ab④若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．

其中真命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选A．当c＜0时，①错误；ac2＞bc2，显然c2＞0，因此②正确；当a＞0＞b时，③错误；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，显然④错误，故选A．

12．给出如下三个命题：

ab①设a，b∈R，且ab≠0，若＜1，则＞1；

ba②若四个非零实数a，b，c，d依次不成等比数列，则ad≠bc；

③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中不正确命题的序号是(

) A．①②③

C．②③

B．①②

D．①③

ab解析：选B．①举反例，＝－1＜1，但＝－1＜1，①是假命题；

ba②考虑其逆否命题，即若四个非零实数a，b，c，d满足ad＝bc，则a，b，c，d依次成等比数列．举反例：a＝1，b＝2，c＝8，d＝16，说明此命题是假命题，②是假命题；

③f(|x|)＝log2|x|，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(|－x|)＝log2|－x|＝f(|x|)，故f(|x|)是偶函数，③是真命题．

13．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．

解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题，理由如下：

函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．

14．(选做题)(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；

aa(2)已知命题“若x1”是假命题，求a满足的条件．

x1x2解：(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，

所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，

1方程有解x＝－．

b当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0．

综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．

aa(2)因为命题当x1为假命题，

x1x2a（x2－x1）aa所以应有当x1

x1x2x1x2因为x10，x1x2>0，

所以a≤0．