3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案教学设计

3．1

直线的倾斜角与斜率

3．1.1

倾斜角与斜率

【目标导航】

1．理解直线的倾斜角与斜率的概念．

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．

3．掌握过两点的直线的斜率公式．

[新知初探] 知识点一

直线的倾斜角

1．直线l的倾斜角的概念

一个前提：直线l与x轴______；

一个基准：取______作为基准；

两个方向：____________与直线l______方向．

2．倾斜角的范围

当直线l与x轴_____________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为____________．

知识点二

直线的斜率

1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的_________叫作这条直线的斜率．

2．记法：斜率常用_____表示，即__________. 3．斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

α＝0°

___________

α＝90°

_____________ 斜率

___

k＞0

_______

k＜0 4.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝______. [化解疑难] 1．直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

2．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，

[基础自测] 1．有下列说法：

①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②任何一条直线都有唯一的斜率；

③倾斜角为90°的直线不存在；

④倾斜角为0°的直线只有一条．

其中正确的有(

) A．0个

C．2个

斜率越大，直线的倾斜程度也越大. 2．直线l的倾斜角是斜率为A．1

23C.

373．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐4标为________．

题型一

直线的倾斜角、斜率的定义自主练透型

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

C．30°或150°

(2)直线l的倾斜角为α，斜率为k，则当k＝________时，α＝60°；当k＝________时，α＝135°；当k＞0时，α的范围是____________；当k＜0时，α的范围是________．

解析：(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°，故选D. (2)由斜率的定义k＝tan α，

当α＝60°时，k＝tan 60°＝3；

当α＝135°时，k＝tan 135°＝－1；

当k＞0时，0°＜α＜90°；

当k＜0时，90°＜α＜180°. [归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角．

2．直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：

①当0°≤α＜90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；

B．60°

D．60°或120°

3的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(

) 3B．3 D．－3 B．1个

D．3个

◎

变式训练

1.(1)如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是(

) A．α1＞α2＞α3

C．α2＞α3＞α1

(2)已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k＝________.若k＝－________．

题型二

直线的斜率自主练透型

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．

归纳升华]

求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法

(1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等：若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求．

(2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存在；若求α的具体值，可用公式k＝tan α求解. ◎

变式训练

2．(1)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A．1

C．1或3

(2)求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α：

①P1(－2,0)，P2(－5,3)；

②P1(－2,3)，P2(－2,8)；

③P1(5，－2)，P2(－2，－2)．

题型三

直线倾斜角与斜率的综合应用多维探究型

已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．

[归纳升华] 1．斜率的求法：①已知倾斜角可用k＝tan θ去求，注意θ≠90°；②已知直线上两点P1(x1，B．4 D．1或4 3，则其倾斜角为3B．α1＞α3＞α2

D．α3＞α2＞α1

y2－y1y1)，P2(x2，y2)，可用k＝，注意x1≠x2. x2－x12．斜率的坐标公式中与两点顺序无关，但与两点的坐标顺序有关，必须一致．

[特别提醒]

在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．

倾斜角α

斜率k 0°

0

◎

变式训练

3．过点P(0，－2)的直线l与以A(1,1)，B(－2,3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(

) 5－，3

A.23－，1

C.2

30°

3

345°

1

60°

3

120°

－3

135°

－1

150°

－3

35－∞，－∪[B．23－∞，－∪[D．2