1.4.2 存在量词教案教学设计导入整理

全称量词与存在量词

预习课本P21～25，思考并完成以下问题 1．全称量词、全称命题的定义是什么？

2．存在量词、特称命题的定义是什么？

3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？

[新知初探]

1．全称量词与全称命题

全称量词

符号

全称命题

形式

2．存在量词与特称命题

存在量词

符号表示

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

__∀__ 含有全称量词的命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

__∃__ 1

特称命题

形式

3．全称命题与特称命题的否定

知识点

全称命题的否定

特称命题的否定

[点睛]

(1)全称命题的否定

原命题

含有存在量词的命题

“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”

命题的否定

綈p：∃x0∈M，綈p(x0) p：∀x∈M，p(x)

p：∃x0∈M，p(x0)

綈p：∀x∈M，綈p(x) 全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．

(2)特称命题的否定

特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(

) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(

) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“∀x∈R，|x|＋x≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x<0

C．∃x0∈R，|x0|＋x0<0 答案：C 3．下列全称命题为真命题的是(

) A．所有的质数是奇数

B．∀x∈R，x＋1≥1

C．对每一个无理数x，x也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 4．命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它

2 222222

B．∀x∈R，|x|＋x≤0

D．∃x0∈R，|x0|＋x0≥0

22

是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________. 答案：特称命题

假

∀x∈R，x＋2x＋5≥0

全称命题与特称命题的判断

[典例] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

222

[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

[活学活用] 用全称量词或存在量词表示下列语句：

(1)不等式x＋x＋1>0恒成立；

121(2)当x为有理数时，x＋x＋1也是有理数；

32(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

(4)方程3x－2y＝10有整数解．

解：(1)对任意实数x，不等式x＋x＋1>0成立．

22

3

121(2)对任意有理数x，x＋x＋1是有理数．

32(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立. 全称命题、特称命题的真假判断

[典例] (1)下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0

C．∀x∈R，x>0 (2)下列命题中的真命题是(

) A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0

C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件

[答案] (1)C (2)B

全称命题与特称命题的真假判断的技巧

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．

(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

[活学活用] 指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a>0. (2)对任意实数x1，x2，若x1

(4)∃x0∈R，使x0＋1<0.

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B．∃x0∈R，tan x0＝1 D．∀x∈R，e>0 xx

4