3.3.1 两条直线的交点坐标特级教师教学实录

数学必修二

3.3.1

两条直线的交点坐标

西安高新一中国际部高延军

【教学目标】

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3理解过两条直线交点的直线系方程的含义。

4.体会“特殊”到“一般”，和数形结合的思想。. 【重点难点】

教学重点：已知两直线的方程会求交点.坐标，并能根据方程组解的个数判断两直线的位置关系。

教学难点：过两直线交点直线系方程的理解。

.【教学过程】

一、复习引入

初中平面几何中，我们只能对直线作定性的研究.引入了平面直角坐标系以后，我们用方程表示直线，直线的方程就是直线上每一个点的坐标满足的一个关系式，即一个二元一次方程. 这样我们就可以通过方程把握直线上的点，对直线作定量的研究. 二、新知探究：

思考1:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？

设计目的:具体的直线的方程使学生更有抓手，容易得出联立方程组，求出方程组的解，但学生讲不明白为什么方程组的解是交点的坐标。这时老师追问为什么方程组的解就是交点的坐标？交点的的坐标是方程组的解吗？为什么？

思考2

求下列两条直线的交点坐标.

(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；

(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；

(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.

设计目的：进一步提供具体直线使学生体会直线间的位置关系，为后面的一般关系的归纳做好准备。

思考3一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),如何求其交点？

设计目的:有了具体直线的铺垫，学生可以对一般情况进行讨论，但仍有一定的困难，老师要引领学生探讨一般方程组的解法。

思考4 上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系？

判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系. 设计目的：加深对直线位置关系与方程组解的对应关系的理解

例1

已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是

练习1 设计目的：对上述结论的应用，加深对结论的理解。

二、过两条直线的交点的直线系方程

思考6

当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？

动画演示当λ取不同值时图像的变化，启发学生思考：（1）关于的二元一次方程表示的图形是什么？（2）与3x+4y-2=0和2x+y+2=0表示的直线之间有什么关系？

结论：将含有一个参数的二元一次方程称为过A直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程(不含l2)．

例1

求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．

证明

方法一

对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

x－3y－11＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两条直线x＋4y＋10＝0，

的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

方法二

将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 2x＋y－1＝0，x＝2，由于m取值的任意性，有解得

－x＋3y＋11＝0，y＝－3.

所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

归纳

解含有参数的直线恒过定点的问题

(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1x＋B1y＋C1＝0，λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若A2x＋B2y＋C2＝0

整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．

练习1

不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________．

1解析

方法一

取m＝1，得直线y＝－4.取m＝，得直线x＝9.故两直线的交点为(9，－4)，

2下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过点(9，－4)．

方法二

直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立，

x＋2y－1＝0，x＝9，∴解得故直线恒过定点(9，－4)．

x＋y－5＝0，y＝－4，

三、课堂小结

A1x＋B1y＋C1＝0，1．方程组A2x＋B2y＋C2＝0

有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，

2、直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程(不含l2)．

3、数学思想：特殊到一般思想；数形结合思想