3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学设计2

§3.1.3空间向量的数量积运算

课题：3.1.3空间向量的数量积运算

选修2-1 教学目标: 知识目标：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

②

运用公式解决立体几何中的有关问题。

能力目标：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感目标：①

通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

教学重点：空间向量数量积公式及其应用。

教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

教具：多媒体投影仪

教学过程：

（一）复习旧知：

1）空间向量及加减运算的相关知识：

2）平面向量数量积的定义：

（二）开展新课：

1.两个空间向量夹角的定义: 因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量a,b,总可以在空间中任取一点点O,使OAa,OBb,从而可知角∠AOB为向量a与b的夹记作：a,b范围：0a,b

特别的:a,b2时,则称a与b互相垂直，并记作：ab

注意:①夹角必须是同一个起点②两个向量的夹角是唯一确定的。

abaA bO B 2.两个空间向量数量积的定义:

abcosa,b叫做空间两向量a,b的数量积，记作：ab,即ababcosa,b

类比平面向量，说一说ab的几何意义？

3.空间向量的数量积的主要性质:设a,b是两个非零向量

①abab0

数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件

②特别地,aaa或a③cosa,babab2aa

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角

4.空间向量数量积满足的运算律

①交换律:abba

②对数乘的结合律:(a)b(ab)a(b)

③分配律:(ab)cacbc

注意:数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc)

补充公式：ab2222a22abb

abab(ab)



abc课堂检测

222abc2ab2ac2bc

1、向量a,b之间的夹角为30°，且a3,b4,则ab

；2a

；

a2bab

。

2、已知a22,b22,ab2，则a与b的夹角大小为

5.空间向量数量积在立体几何中的应用: 例1:如图，在平行四边形ABCD中，AD=4,CD=3,∠D=60°，PA⊥平面ABCD,并且PA=6 求PC的长。

练习：如图已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，求对角线AC1的长。

例2：如图直三棱柱ABC-A1B1C1,若BAC2,ABACAA12

求异面直线A1B与AC1所成的角。

练习：如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C中，AB=4,AD=3,AA1=5,BAD90,BAA1DAA160

（1）求AC1的长；

（2）AC1与AC的夹角的余弦值。

5.小结:.空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可用于解决很多立体几何问题：

(1)求空间中两点间的距离或线段长度，可以理解为求相应线段所对应的向量的模；

(2)求空间中两条异面直线所成的角，可以理解为求这两条直线所对应的两个向量的夹角；

6.布置作业:书上p98第3,4,5题