习题3.2第二课时 公开课

教学设计

课题：

法向量及简单应用

科目：

数学

教学对象：

高二（理科）

课时： 1 提供者：王馗

单位：

云南省大理州剑川县第一中学

一、

教学内容分析

1.法向量的定义。

2.法向量的求法。

3.法向量的简单应用。

二、教学目标

知识与技能：

1.法向量的定义。

2.法向量的求法。（待定系数法）

3.利用平面的法向量解决线面角、面面角，点面距离、线面距离，面面距离等。

过程与方法：

培养学生能用代数法研究立体几何问题的能力，将抽象转化为具体，将定性思维的论证和计算转化为相对简单直观的定量论证和计算。以期在学生解决一些不容易做辅助线的立体几何问题时有所帮助。

情感态度与价值观：通过运用法向量的知识解决立体几何问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。提升解决立体几何问题的信心。

二、

学习者特征分析

学情分析：学生对空间向量的和、差、内积计算已有基础，对向量之间的夹角计算也已有角坐标系的空间几何体已经能准备，对两向量之间的特殊关系（共线、垂直）的判断也已经掌握，学生对有条件建立空间直够找到所需要的骨架点。故而在此恰当时机引入平面的法向量用以帮助解决立体几何的问题自然是水到渠成的事情了。

重点及难点：

1.正确求解平面的法向量。（待定系数法求法向量或直接求出平面方程）

2.利用平面的法向量解决立体几何的证明和计算。

三、

教学策略选择与设计

基本理念：由于学生对空间向量的和、差、内积计算已有基础，对向量之间的夹角计算也已有准备，对两向量之间的特殊关系（共线、垂直）的判断也已经掌握，学生对有条件建立空间直角坐标系的空间几何体已经能够找到所需要的骨架点。故而在此恰当时机引入平面的法向量用以帮助解决立体几何的问题自然是水到渠成的事情了。培养学生能用代数法研究立体几何问题的能力，将抽象转化为具体，将定性思维的论证和计算转化为相对简单直观的定量论证和计算。以期在学生解决一些不容易做辅助线的立体几何问题时有所帮助。

四、教学策略选择与设计

基本理念：由于学生对空间向量的和、差、内积计算已有基础，对向量之间的夹角计算也已有准备，对两向量之间的特殊关系（共线、垂直）的判断也已经掌握，学生对有条件建立空间直角坐标系的空间几何体已经能够找到所需要的骨架点。故而在此恰当时机引入平面的法向量用以帮助解决立体几何的问题自然是水到渠成的事情了。培养学生能用代数法研究立体几何问题的能力，将抽象转化为具体，将定性思维的论证和计算转化为相对简单直观的定量论证和计算。以期在学生解决一些不容易做辅助线的立体几何问题时有所帮助。

五、

教学重点及难点

重点及难点：

1.正确求解平面的法向量。（待定系数法求法向量或直接求出平面方程）

2.利用平面的法向量解决立体几何的证明和计算。

六、教学过程

教学活动

认识法向量。

先让学生回顾联想物理学习中的镜面反射。回忆镜面反射上有一条很重要的直线（法线）。

学生会想这镜面也是一个平面呀，法线垂直于镜面，那么这个法向量应该也会与垂直有关吧。

怎样求出法向量？

由法向量垂直于平面激发学生联想到必修2中直线与平面垂直的性质。与学生一起回顾并齐声阐释线面垂直的性质。直线垂直于平面则垂直平面上的任何一条直线，但是要论证或判明线面垂直却只需证明直线与平面上的两条相交直线皆垂直即可。如果我们已经有条件空间平面上的三个不共线的点，是否可以构造两个向量使得空间中的某个非零向量与他们皆垂直，而所构造的这个向量也就是我们所需要的平面的法向量了。

（应该解决一个现实也很有挑战性的问题就是有些学生对不确定方程组的求解还不是那么容易理解。很现实的问题就是，我们要求的法向量有三个维度需要解决，但是所列方程组只有两个方程，这就需要我们在求解法向量时，假设法向量其中的一个维度为适当的非零实数，但是如果假设不恰当，就会出现与实际相矛盾或者解答所得的法向量很尴尬的是一个零向量。）

怎样使用法向量？

1.

解决线面角问题。求一条直线与平面的关系。可以解决线面夹角问题，也可以论证线面平行、线面垂直。

2.

解决面面角问题。求两个平面之间的关系。可以解决二面角问题，也可以证明面面平行，面面垂直。

3.

解决距离问题。求点面距，线面距，面面距。

给出空间中一平面上不共线的三个点。带领学生一起构造两个平面上的空间向量，再构造一个空间向量与已知的两个空间向量都垂直（即与两个已知向量都有数量积为零），由浅入深，由简到繁体会法向量的求解。也可以假设一个平面方程，带入已经给出的三个点，得到三个方程组，解出平面方程来，其中三个方向的变量系数即可得到法向量。

给出一个以长方体为背景的立体几何解答题为例题。让学生来一起体会建立空间直角坐标系，寻找骨架点，构造所用向量，再假设法向量，求解具体法向量，再用于解决线与面、面与面的与角有关联的计算和证明问题；进一步还可以解决距离问题。

七、教学评价设计

学生自我评价：

分三个层次：

最低层次仅仅理解什么是法向量；中等层次能够利用空间中的已知点求出平面的法向量；

高级层次，可以顺利的建立适当的空间直角坐标系，标出所需骨架点，求出平面方程或平面的法向量，再用之于解决立体几何的角、距离问题。

教学反思

1.通过对法向量的讲解，学生对立体几何问题的解答有了一种更新、更具体的方法，基础较好的学生对这种方法很着迷，在解决立体几何的计算问题时正确率更高了。

2.但是，这种方法对于基础相对薄弱的学生挑战也是比较大的，建立坐标系，寻找骨架点解出法向量，再继之以解决立体几何问题，他们失误率还是很高的，方法虽好，他们无法体会到法向量的妙处。