4.3.2 空间两点间的距离公式特级教师教学实录

4.3

空间直角坐标系

4.3.1

空间直角坐标系

4.3.2

空间两点间的距离公式

学习目标：1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．空间直角坐标系

以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，定义

这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法

在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°

图示

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右说明

手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系

2．空间中一点的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

3．空间两点间的距离公式

(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2. (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝1/9

x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. [基础自测] 1．思考辨析

(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．(

) (2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．(

) (3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．(

) (4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．(

) [提示]

(1)×

Ox轴上的点的坐标是(a,0,0)．

(2)√

(3)√

(4)√

2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(

) A．关于x轴对称

B．关于xOy平面对称

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

A

[点P(3,4,5)与Q(3,－4,－5)两点的横坐标相同，而纵坐标、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．选A.] 3．空间两点P1(1,2,3)，P2(3,2,1)之间的距离为________．

22

[|P1P2|＝1－32＋2－22＋3－12＝4＋4＝22.] [合

作

探

究·攻

重

难]

空间中点的坐标的确定

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的1中点，G在棱CD上，且CG＝4CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标. 【导学号：07742313】

[解]

建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐1标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，2. 2/9

由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N，

11由平面几何知识知FM＝2，FN＝2，

11故F点坐标为2，2，0. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，

3又GD＝4，

30，故G点坐标为. 4，0由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点．

117故HK＝2，CK＝8，∴DK＝8，

710，故H点坐标为. 8，2[规律方法]

求某点P的坐标的方法

先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标. 提醒：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号，确定第三个坐标. [跟踪训练] 1．已知棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图4-3-1所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．

3/9

图4-3-1 [解]

(1)对于图①，因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)．

因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A，C，所以B(2,2,0)．

同理，A′(2,0,2)，C′(0,2,2)．

因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．

(2)对于图②，A，B，C，D都在xD′y平面的下方，所以其竖坐标都是负的，A′，B′，C′，D′都在xD′y平面上，所以其竖坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)，A′(2,0,0)，C′(0,2,0)，D(0,0，－2)．同(1)得B′(2,2,0)，A(2,0，－2)，C(0,2，－2)，B(2,2，－2).

求空间对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；

(3)求点P关于点M(2,－1,－4)的对称点的坐标．

【导学号：07742314】

思路探究：对照空间点的对称规律写出坐标．

[解]

(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2,－1,－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1,－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

4/9

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P3(6,－3,－12)．

[规律方法]

1．求空间对称点的规律方法

空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：

(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；

(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；

(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；

(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；

(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；

(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；

(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．

[跟踪训练] 2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4. [解]

由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).

空间两点间的距离

[探究问题] 1．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3,－1)，请求出P、Q之间的距离．

[提示]

|PQ|＝1－42＋0－32＋1＋12＝22. 2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．

[提示]

设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，

5/9

得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，

∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．

如图4-3-2所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度.

【导学号：07742315】

图4-3-2 思路探究：先建立空间直角坐标系，求出点M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

[解]

如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，

∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，

∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，

∵N为CD1的中点，

3∴N2，3，1. M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，

∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得

|MN|＝21＝2. 6/9 32－1

＋3－12＋1－22

2

[规律方法]

利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：

[跟踪训练] 3．如图4-3-3所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

图4-3-3 [解]

以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，

B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，

由中点坐标公式可得，

D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22

＝5，

|EF|＝0－12＋1－02＋2－02

＝6. 7/9

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(

)

A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0) B

[点A(－1,2,1)在x轴上的投影点为(－1,0,0)．

在xOy平面上的投影为(－1,2,0)．

故选B.] 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是(

)

【导学号：07742316】

A．－3或4

C．3或－4 B．6或2 D．6或－2 D

[依题意，x－22＋1－32＋2－42＝26，

∴x2－4x－12＝0，∴x＝6或x＝－2. 选D.] 3．已知A(3,2,－4)，B(5,－2,2)，则线段AB中点的坐标为________.

【导学号：07742317】

3＋5－2＋2－4＋2(4,0,－1)

[线段AB中点为，2，2，即(4,0,－1)．] 24．设A(4,－7,1)，B(6,2,z)，|AB|＝11，则z＝________. －5或7

[依题意，|AB|＝4＋81＋z－12＝11，解得z＝－5或z＝7.] 5．V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．

[解]

以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．

8/9

∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是0，

∴点V的坐标是(0,0,3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，

∴它们的竖坐标都是0. 又|AB|＝2，

∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．

9/9