第四章 圆与方程（通用）教学设计思路

圆与方程（教学设计）

一、教学目标

(一)知识教学点;使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．

二、教学过程

(一)知识准备：我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识

一、圆的标准方程

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r

①

222(xa)(yb)r化简可得： ②

引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

1.

圆的标准方程：方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.

2.

求圆的标准方程的一般步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2．

(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

(3)解此方程组，求出a，b，r的值； .

(4)将所得的a，b，r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程．

3.

求圆的标准方程的常用方法：

（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后解出a，b，r，

- 1 -

再代入标准方程.

二、圆的一般方程

1.方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆，只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程.

2.

对于方程x2y2DxEyF0

.

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示（1）当D2E24F0时，表示以（--E1）为圆心,D2E24F为半径的圆；

222D，2（2）当D2E24F0时，方程只有实数解xD，yE，即只表示一个点（-2D，2-E）; 2（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞3.圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组. F0即DEF20

4D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0

王新敞∴所求圆的方程为：x2y28x6y0

王新敞1DFD2E24F5；4,3

222得圆心坐标为（4，-3）. r王新敞

- 2 -

或将x2y28x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2(y3)225,从而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3)

王新敞练习：1．判断二元二次方程4x24y24x12y90是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

2．若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为 （ ）

A.-1. B.2 C.-1或2 D.1 3.一个圆经过点A(5,0)与B(2,1)，圆心在直线x3y100上，求此圆的方程.

4.求经过A(4,2),B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.

5.一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27 ，求圆的方程。

6．已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为5，求该圆的方程．

5

三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外

即（1）点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)上等价于

- 3 -

(x0a)2(y0b)2r2(r0)；

（2）点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)内部等价于(x0a)2(y0b)2r2(r0)；

（3）点(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)外部等价于(x0a)2(y0b)2r2(r0)．

2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBminBNBCr

PBmaxBMBCr

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAminANrAC

PAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

练习：1.已知点P(4a1,2a)在圆(x1)2y21上，求a的值．

2.设点P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9上各点距离为d,则d的最大值为______ 四、直线与圆的位置关系

I 复习准备：

1.

在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：

（1）相交，有一两个公共点；

（2）相切，只有一个公共点；

（3）相离，没有公共点。

2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

3.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离没有公共点0dr

（2）相切只有一个公共点0dr

（3）相交有两个公共点0dr

4.直线与圆相切

（1）知识要点

①基本图形(如图) ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线l与圆C相切意味着什么？：圆心C到直线l的距离恰好等于半径r

（2）常见题型——求过定点的切线方程

- 4 -

①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点

．．．i）点在圆外

如定点Px0,y0，圆：xaybr2，[x0ay0br2] 第一步：设切线l方程yy0kxx0 第二步：通过drk，从而得到切线方程

特别注意：（i）以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！

（ii）点在圆上

（1）若点x0，y0在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2

222（2）若点x0，y0在圆xaybr上，则切线方程为2222x0axay0bybr2

③求切线长：利用基本图形，APCPr2AP22CPr2

2ACr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程

kACkAP13.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题

垂径定理及勾股定理——常用

．．．．l1k弦长公式：2xx4x1x2（掌握，圆锥曲线将会涉及）

1k212（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

练习：1.直线3x-4y+1=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为 （ ）

x1x22 (A) 5 (B)4 (C) 25 (D)2 2.若直线ax+y=1与圆(x-3 )2+(y-2)2=1 有两个不同交点，则a的取值范围是 （ ）

A.(0, 3 )

B.(- 3 ,0)

C.( 3 ,+∞) D.(-∞,- 3 ) 3.已知点M(a,b)(a,b≠0)是圆C:x2+y2=r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax+by=r2,那么 （ ）

A.l//m且m与圆C相切 B. l⊥m且m与圆C相切

- 5 -

C.l//m且m与圆C相离 D. l⊥m且m与圆C相离

4.直线(x+1)a+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是 （ ）

A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定

5.把直线x-2y+=0向左平移1个单位长度，再向下平移两个单位长度后，所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为 （ ）

A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-13 6.直线x2y30与圆(x2)2(y3)29交于E,F两点，则三角形EOF（O是原点）的面积等于 。

7.若经过点P(1,0)的直线与圆x2y24x2y30相切，求此直线在y轴上的截距.

8.过点(2,4)向圆x2y24引切线，求切线方程.

9.已知圆C：x1y225，直线l：2m1xm1y7m40（mR）

（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；

（2）求其中弦长最短的直线方程.

五、对称问题

1.圆本身关于直线对称，则直线过圆心。

2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称，半径不变。

练习：1、曲线x2+y2+22 x-22 y=0关于 （ ）

A.直线x=2 轴对称 B. 直线y=-x轴对称

C.点（-2,2 ）中心对称 D.点（-2 ,0）中心对称

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22

2.若圆x2y2m21x2mym0，关于直线xy10对称，则实数m的值_ . 3.已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为 （ ）

A.(x1)2y21 B.x2y21 C.x2(y1)21 D.x2(y1)21

4.已知圆C1：x4y21与圆C2：x2y41关于直线l对称，则直线l的方程为_______________ . 5.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是__________________. 222222六、最值问题

方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；

练习：1.在圆x2+y2=4上，与3x-4y-12=0距离最长的点的坐标是 （ ）

86686886A. ( ,- ) B. ( ,- ) C. (- , ) D. (- , ) 55555555Q在圆C2:(x2)2(y1)24，2.P在圆C1:(x4)2(y2)29上，则PQ的最小值是 。

3.一束光线从点A(-1,1)出发，经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（ ）

A.4 B.5 C.32 –1 D.26 4.从点(m,3)向圆x2+y2-2x=0作切线，则切线长的最小值是 （ ）

A.22 B. 7 C.3 D. 10 5.已知实数x，y满足方程x2y24x10，求：

y的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2y2的最大值和最x5小值.

（1）

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七、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）dr1r2外离 （2）dr1r2外切

（3）r1r2dr1r2相交 （4）dr1r2内切

（5）dr1r2内含

2.两圆公共弦所在直线方程

圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，

则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；

若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题

（1）过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）

说明：1）上述圆系不包括C2；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

（2）过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyFAxByC0

（3）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线

练习：1.若圆C1: x2+y2-2mx+m2=4和圆C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2相交，则m的取值范围是（ ）

122122122A. (- ,- ) B.(0,2) C. (- , )∪(0,2) D. (- ,-

)∪(0,2)

5555552.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有 （ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

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3．求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

八、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程. 练习：1.已知M (-1,0), N (3,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程( ) (A)(x1)2y22 (B)(x1)2y24(C)(x1)2y22(y0) (D) (x1)2y24(y0)

222.过原点O作圆x+y+6x=0的弦OA (1)求弦OA中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.

3.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。

P

M

O1

O2

4．

如图，已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

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y O Q x

九、空间直角坐标系

I 复习准备：

1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？

2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？ II 讲授新课：

1.空间直角坐标系：

如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别

以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴

x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (1)点A叫做坐标原点 (2)x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. (3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

2.

右手法则：

令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

3.有序实数组

（1).空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标 4、空间两点的距离公式

已知两点M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)，求此两点间的距离d。

空间两点的距离公式: d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。

思考：（1）点M（x，y，z）到坐标原点O（0，0，0）的距离？

（2）如果OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形？ 5练习：

1.点A(0,-4,1),点C与A关于平面xOy对称，点B与点A关于原点对称，则|BC|=（ ）

A.7 B.8 C.9 D.22 2.已知点A(1,4,-1),B(2,2,1),C(3,4,3),则△ABC___________________

的形状是

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