1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）特级教师教学实录

空间几何体的表面积和体积

【知识梳理】

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体

柱体

(棱柱和圆柱)

锥体

(棱锥和圆锥)

台体

(棱台和圆台)

球

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

表面积

S圆锥侧＝πrl

S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l

体积

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

13S表面积＝S侧＋S底

13V＝Sh

V＝(S上＋S下＋S上S下)h

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

V＝πR3

43(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

1

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √

) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ×

) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ×

) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √

) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ×

) (6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( ×

) 【考点自测】

1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(

) A．1 cm B．2 cm C．3 cm 3 D. cm 2答案

B 解析

S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2 cm. 2．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(

)

A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2

D．138 cm2

2

答案

D 解析

该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，所以表面积S＝[2×(4×61＋4×3)＋3×6＋3×3]＋(5×3＋4×3＋2××4×3)＝99＋39＝138(cm2)．

2

3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(

) A．12π B.32π C．8π D．4π

3解析

由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A. 14．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 0003斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(

) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺

解析

设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B. 5．(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．

解析

由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆181416833π，所以V剩余＝V半球－V圆锥＝π，故锥＝×π×2＝π，V半球＝×π×2＝332333

3

剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1. 题型一

求空间几何体的表面积

例1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(

)

A．21＋3 B．18＋ C．21 D．18 (2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

答案

(1)A (2)12 解析

(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为

136×(4－)＋2××(2)2＝21＋3.故选A. 24

11(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2×3×h＝3223，

1∴h＝1， ∴斜高h′＝12＋(3)2＝2， ∴S侧＝6××2×2＝12. 2思维升华

空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

4

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

跟踪训练2 (2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

答案

26 解析

该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－21×1＋×2π×1＝26. 2题型二

求空间几何体的体积

命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积

例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

1212122A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π

3333366

5

解析

由三视图知，半球的半径R＝2，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，22311142高为1，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C. 323236命题点2 求简单几何体的体积

例3 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．

112222解析

设新的底面半径为r，由题意得πr·4＋πr·8＝π×5×4＋π×233×8，解得r＝7. 思维升华

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪训练2 (1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

(2)如图，在多面体ABCDEF中，

已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(

) 2343A. B. C. D.

3332

6

答案

(1)3

(2)A 3解析

(1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图111可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝×(×23×1)×1332＝3. 3

(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，

CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝122∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，

224123，

212122∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A. 34243

题型三

与球有关的切、接问题

例4 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) A.31713 B．210 C. D．310 22答案

C 解析

如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

7

15则垂足为BC的中点M. 又AM＝BC＝，

22OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝

引申探究

12513()2＋62＝. 221．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解

由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，

444432π从而V外接球＝πR3＝π×(23)3＝323π， V内切球＝πr3＝π×23＝. 333332．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

3解

正四面体的表面积为S1＝4··a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高41166πa2S13a22的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝443126S2πa2663. π3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？

解

依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为

1(32)2－(×6)2＝3，

2因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3. 思维升华

空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA

8

＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

跟踪训练3 (2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) A．4π B.9π32π C．6π D. 答案

B 23解析

由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为9π. 2课时作业

1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．4＋π3π5π B．4＋ C．4＋ D．4＋π

222答案

C 解析

由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体115π22等高的圆柱的体积的，即π·1·3＋2·2·1－π·1·1＝4＋. 2222．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(

)

9

A.(4＋π)3(8＋π)3(8＋π)3 B. C. D．(4＋π)3 363答案

B 解析

由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为3.则V11(8＋π)3π＋4·3＝＝·.故选B. 326π3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯2形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(

) A.2π4π5π B. C. D．2π

333答案

C 解析

过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V115π2222＝π·AB·BC－·π·CE·DE＝π×1×2－π×1×1＝，故选圆锥333C.

4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(

)

A．1＋3 B．2＋3 C．1＋22 D．22 答案

B

10

解析

由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面13体的表面积为S表＝2××2×1＋2××(2)2＝2＋3，故选B. 24

5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是(

)

201016A.π B．6π C.π D.π

3331解析

该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×121110＋××π×4×2＝π.故选C. 2336．(2016·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(

)

A.2 B.2 C．2 D．1 2解析

由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为2.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴

11

∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为2×1＝2.故选A. 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________．

解析

由题意，图中弧EF为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝ππππ，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧EF的长为2×＝.弧6663FG为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝3，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝R2－d2＝1，又πππ5π∠GBF＝，所以弧FG的长为1×＝.故两段弧长之和为. 22268．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．

解析

(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝6，∴AE＝＝10.同理BE210.取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF216101＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝.在Rt△2222OFA中，OA＝77.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接22球的表面积是7π. 9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________．

12

答案

1

31解析

VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大311值．当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S23△ABC1＝. 310．(2016·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．

1答案

2解析

设PD＝DA＝x，

在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，

∴AC＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC

＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，

1∴CD＝23－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°，

21111∴S△BCD＝BC·DC·sin∠ACB＝×2×(23－x)×＝(23－x)．

2222要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x. 111则V四面体PBCD＝×(23－x)x＝[－(x－3)2＋3]，由于0＜x＜23，

32611故当x＝3时，V四面体PBCD的最大值为×3＝.

62

13