2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案整理

第5课时

直线与平面、平面与

平面平行的性质

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.

2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.

如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?

问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的

,影子恰好是

与地面的

,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子.

问题2:直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言.

线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线

.

符号表示:

⇒

.图形:

面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的

平行.用符号语言表示为:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.

问题3:面面平行的其他性质.

①若两个平面平行,则一个平面内的

都和另一个平面

.这条性质,给我们提供了证明

的另一种方法,可以作为判定定理运用.

②夹在两平行平面间的两条平行线段

,这一点和平面内夹在两条平行线之间的

类似.

③和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于

的两个平面

.该性质同时是

的一种判定方法.

问题4:线线、线面、面面平行的相互转化.

由上可以看出三者之间可以进行适当转化,即由两相交直线和平面平行可以推出

;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出

.直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了知识间的相互依赖关系.

线面平行的性质和判定的综合应用

底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.

空间中两直线平行的证明

求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.

面面平行的性质定理的应用

如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN∥平面α.

如图,三棱锥A—BCD中棱AC上有一点F.

(1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行; (2)求证该截面为平行四边形.

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:一个平面

光线所在平面

交线

问题2:平行

a∥b 交线

问题3:任一条直线

平行

线面平行

相等

平行线段相等

同一个平面

平行

面面平行

问题4:线线平行

面面平行

两个平面平行

直线和平面平行

重点难点探究

探究一:【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.

因为D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB.

又因为B1C1∥BC,且B1C1=BC, 所以B1C1∥EB,且B1C1=EB.

所以四边形EBC1B1是平行四边形, 即EB1∥BC1.因为AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.

又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.

【小结】本题给出证明线面平行的另一种方法:要证明线面平行可以先证明过直线的平面与另一平面平行,即面面平行⇒线面平行.

探究二:

【解析】已知:如图所示,a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b.

证明:在平面α内任取一点A,且A∉b, ∵a∥α,∴A∉a, ∴过a和A只有一个平面γ,设γ∩α=m.

∵a⊂γ,∴a∥m, 同理,在平面β内任取一点B,且B∉b, 则B和a确定平面δ,设δ∩β=n,

则a∥n,∴m∥n.

∵m⊄β,n⊂β, ∴m∥β.

又∵m⊂α,α∩β=b,∴m∥b.

又∵m∥a,∴a∥b.

【小结】本题解法的最大特点就是线面平行的判定和性质的交替应用,这也是该类问题的通法,即证明线线平行的问题往往可先证明线面平行,再由线面平行证出线线平行.

探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.

∵α∥β,∴AC∥BD.

又∵M、N为AB、CD的中点, ∴MN∥BD.

又∵BD⊂平面α, ∴MN∥平面α.

(2)若AB、CD异面,过A作AE∥CD,交α于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED.

∵AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC,且与α、β的交线为ED、AC.

∵α∥β,∴ED∥AC.

又∵P、N分别为AE、CD的中点, ∴PN∥ED,∴PN∥平面α, 同理可证,MP∥BE,∴MP∥平面α, ∴平面MPN∥平面α.

又∵MN⊂平面MPN, ∴MN∥平面α.

【小结】本题的解题思路是由面面平行得线面平行,这是证明线面平行的一种基本思路.在本题的解答时容易忽略对AB、CD位置关系的讨论.

全新视角拓展

【解析】(1)在平面ABC中,过点F作FG∥AB交BC于点G,在平面ACD中,过点F作FE∥CD交AD于点E,在平面ABD中,过点E作EH∥AB交BD于点H,则截面EFGH为所求.

(2)∵FG∥AB,EH∥AB, ∴FG∥EH.

∵EF∥CD,CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD, ∴EF∥平面BCD.

又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=GH, ∴EF∥GH.

∴四边形EFGH为平行四边形.