2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系特级教师教学实录

数

学

高

二

陈毅敏

新

课

直线和平面所成的角与二面角（1）

1．掌握直线和平面所成角的概念；

2．理解并且掌握公式：coscos1cos2。

直线和平面所成角的概念

coscos1cos2的应用。

启发式，导学式，探讨式

室教学平台，幻灯片，三角板

课

（一）复习：

1．直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）

2．当直线a与平面的关系是aA时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？

（二）新课讲解：

1．平面的斜线和平面所成的角：

已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是

斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为，则易知：

O1节

|AB||AO|cos1，|AC||AB|cos2|AO|cos1cos2

又∵|AC||AO|cos，可以得到：coscos1cos2，

注意：2(0,),(若2，则由三垂线定理，OAAC，

22即A12CB2；与“AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C”不相符）。

易得：coscos1

又,1(0,)即可得：1．

则可以得到：

2(1)斜线和它在平面内射影所成角，是斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角；

(2)平面的斜线和它在平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或叫斜线和平面的夹角). 说明：1．若a，则规定a与所成的角是直角；

2．若a//或a，则规定a与所成的角为0；

3．直线和平面所成角的范围为：090；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（coscos1cos2）。

（三）例题分析：

例1．如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条直线，ABC60,OBC45，求斜线AB和平面所成角。

解：∵AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，A

又∵coscos1cos2，

∴cosABOcosABCcos60122，

cosCBOcos45222OCB∴BAO45，即斜线AB和平面所成角为45．

O，连OB，∵DD1AC解: 连AC11,B1D1交于11，B1D1AC11，

例2．在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角。

D1A1

O

C1B1

∴AO平面BB1D1D，∴A1BO是A1B与面BB1D1D所成的角，

1在RtA1BO中，A1O(或cosA1BB11A1B，∴A1BO30．

2D

CB

326，cosB1BO，∴cosA1BO，∴A1BO30．)

223A说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式coscos1cos2求线面角显得更加方便。

例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与面BCD所成角的余弦值。

解：过A作AO面BCD于点O，连CO,BO,DO，∵ABACAD，

∴O是正三角形BCD的外心，设四面体的边长为a，则CO∵AOC90，∴ACO即为AC与平面BCD所成角，

∴cosACO33，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为．

333a，

3CODPBA（四）．课堂练习：P45练习第1，2，3题；P47习题9.7的第1题。

（五）．小结：1．线面角的概念；

2．coscos1cos2及应用. （六）．作业：P45练习第4题、P47习题9.7的第2题。

补充：1如图，PA是平面的斜线，BAC在平面内，

且满足BAC90，又已知PABPAC60，

求PA和平面所成的角。

2．如图，

PA正方形ABCD所在平面，且PC24,

A

B

P

C

A

D

PBPD610，求PC和平面ABCD所成的角。

B

C