1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）主要内容及教案内容

补体法求解棱锥外接球问题教学设计

设计（执教）人：李珏 课 题

补体法求解棱锥外接球问题

球是空间几何体中一个特殊的旋转体，近几年来高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考察，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问方式多种多样，教材与学情分析

对空间想象能力的要求较高。球的表面积和体积问题，关键是确定球心的位置，进而求出球的半径。题目载体一般为正方体，长方体，正三棱锥，直棱柱。

对于球的相关内容，学生通过之前的学习，具有一定的基础，能够解决简单的球与几何体的切接问题，本次课将在已有的知识基础上，通过分析观察棱锥特点，利用补体建模的思想，快速解决几类特殊棱锥的外接球问题。

课时

设计

教学

目标

1课时

实施教学班级

文一

知识与技能：学生学会用补体法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的教学思想方法。

情感态度价值观：完善学生知识体系，增进学生对教学的信心和兴趣。

重点：通过分析棱锥的几何特性，将棱锥外接球问题通过补形转化为长方体（或正方体）的外教学

重难点

难点：正确分析出棱锥的几何特性并进行补体求解

接球问题求解。

教学过程

环节

教学活动及内容

复习回顾球的概念，与球有关的问题核心是球心和球半径的确定，并引导同学们一起快速完成以下内容的复习回顾

1、球的表面积和体积公式：

2球的表面积公式：S4r

球的体积公式：V使能目标

能够正确说出1、圆的表面积和体积公式；2、长方体的外接球半径与长方体体对角线的关系；3、正方体的三球半径和棱长的关系

复习

回顾

43r

32、长方体的外接球半径：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则

长方体的体对角线长为：l长方体外接球半径为：Ra2b2c2，

12ab2c2

2

3、正方体的三球：设正方体棱长为a，则

外接球

棱切球

内切球

R

3a

2R2a

2R1a

2引导学生分析观察给出模型中的三棱锥的棱和面的特点，并根据该三棱锥与长方体的关系归纳出其外接球半径的求法，建立解题模型。

模型1：

通过观察分析模型，感受利用补体法求解特殊棱锥的外接球相关问题的方法

特点：从同一顶点出发的三条侧棱两两垂直

模型2：

模型

分析

特点：底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面

模型3：

特点：底面是直角三角形，有两个侧面是直角三角形且共斜边

模型4：

特点：三组对棱分别相等

【例1】在等腰ABC中，ABAC5，BC6.将AABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC,则三棱锥BADC的外接球的表面积为

.

解：依题意得：BDDC3,AB5,AD4

BDCA能够由题设条件正确分析棱锥具有的特性，并应用补体法的模型思想解决问题

122342，S4R34

R334222DBC典型例

题分析

【例2】已知三棱锥PABC,PA平面ABC,PA2，A60,B90,

BC3,则该三棱锥的外接球的体积为

.

解：依题意，由A60,B90,BC3得

AB1，R121(3)2222

2

V4382R

33

【例3】已知三棱锥SABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，ACAB，BCSBSC2，则该球的表面积为

解：因为SA是球的直径，

所以ABSACS90，

又SBCSBSC2，ACAB

BAACAB2

R116

AS(2)222222CS4R26

【例4】已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，APBC43,

PBAC5，PCAB11,则三棱锥PABC外接球的表面积为

. 解：依题意设长方体的长宽高分别为a,b,c，则

1

a2b2(43)2

○APC2

b2c252

○B3

ac(11)

○2222221+○2+○3得：2(abc)84

○R1222422，S4R42

abc22

课堂小1、解决与球有关的问题关键在于确定球心及半径。

结

2、四种利用补体法求解的模型的特点

板书设计

补体法求解棱锥外接球问题

球的表面积和体积公式

四种模型

例1 例3

例2 例4