1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案1

新人教a版高中数学（必修2）1.3《空间几何体的表面积与体积》word教案3课时

第一课时

柱体、锥体、台体的表面积 (一)教学目标

1(知识与技能 (1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式).(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2(过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3(情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生

探索创新的意识，增强学习的积极性. (二)教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算. 难点:展开图与空间几何体的转化. (三)教学方法

学导式:学生分析交流与教师引导、讲授相结合. 教学环节

教学内容

师生互动

设计意图 问题:现有一棱长为1的正方体盒学生先思考讨论，然后

子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面

回答. 到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路学生:将正方体沿

程是多少, AA′展开得到一个由四个

D′ 小正方形组成的大矩形如C′

图A′ B′ 情境生动，

A′ D 激发热情C 新课导入

教师顺势A B A 带出主题. ,则即所求. AA,17 师:(肯定后)这个题考

查的是正方体展开图的应

用，这节课，我们围绕几何

体的展开图讨论几何体的

表面积. 1(空间多面体的展开图与表面积师:在初中，我们已知

让学生经的计算.学习了正方体和长方体的

(1)探索三棱历几何体表面积以及它们的展开图，柱、三棱锥、三棱台展开过程你知道上述几何体的展开的展开图. 感知几何图与其表面积的关系吗, (2)已知棱长生:相等.体的形状. 为a，各面均为等边师:对于一个一般的多推而三角形S – ABC (图面，你会怎样求它的表面积. 广之，培养1.3—2)，求它的表面积.生:多面体的表面积就探索意识

解:先求?SBC的面积，过点S作是各个面的面积之和，我们会 SD?BC，交B于D，因为BC = a，

可以把它展成平面图形，利

用平面图形求面积的方法a32222SDSBBDaa,,,,,()求解.22 师:(肯定)棱柱、棱11332?. SBCSDaaa,,,，,SBC锥、棱台边是由多个平面图2224

?四面体S – ABC的表面积形围成的多面体，它们的展

开图是什么,如何计算它322. Saa,，,43们的体积, 4

……

生:它的表面积都等于

探索新知

表面积与侧面积之和. 师以三棱柱、三棱锥、

三棱台为例，利用多媒体设

备投放它们的展开图，并肯

定学生说法. 师:下面让我们体会简

单多面体的表面积的计算. 师打出投影片、学生阅

读、分析题目、整理思想. 生:由于四面体S – ABC的四个面都全等的等

边三角形，所以四面体的表

面积等于其中任何一个面

积的4倍. 学生分析，教师板书解

答过程. 2(圆柱、圆锥、圆台的表面积师:圆柱、圆锥的侧面

(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积展开图是什么, 公式的推导

生:圆柱的侧面展开图

S = 2r (r + 1)是一个矩形，圆锥的侧面展,圆柱

S = r (r + 1) 开图是一个扇形. ,圆锥

1221S = (r + r + rl + rl )师:如果它们的底面半,圆台

(2)讨论圆台的表面积公式与圆径均是r，母线长均为l，则柱及圆锥表面积公式之间的变化关系

它们的表面积是多少, 122S=(r+r+rl+r′l) ,师:打出投影片(教材圆台

r = 0 图1.3.3和图1.3—4) r = 1 =r(r+l) SS=2r(r+l) ,:圆柱的底面积为生,圆锥圆柱12，侧面面积为，因,r2,rl(3)例题分析

此，圆柱的表面积: 例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直2 Srrlrrl,，,，222(),,,让学径为20cm，盆底直

2生自己推径为15cm，底部渗生:圆锥的底面积为，,r2 导公式，加水圆孔直径为侧面积为，因此，圆锥,rl 深学生对1.5cm，盆壁长的表面积: 公式的认15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油2 Srrlrrl,，,，,,,()识. 漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂

用联系的100个这样的花盆需要多少油漆(取师:(肯定)圆台的侧面展开图, 观点看待3.14，结果精确到1毫升，可用计算是一个扇环，如果它的上、

探索新知

三者之间器),下底面半径分别为r、r′，

的关系，更分析:只要求出每一个花盆外壁的表面母线长为l，则它的侧面面积

加方便于积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的类似于梯形的面积计算S 侧

学生对空表面积等于花盆的侧面面积加上下底1,,= ,,,，,，(22)()rrlrrl间几何体面面积，再减去底面圆孔的面积. 2 的了解和解:如图所示，由圆台的表积公式得一所以它的表面积为

掌握，灵活个花盆外壁的表面积122,现在Srrrlrl,(),，，，运用公式1515201.522,，，，，，,，,,S[()1515]()解决问题. 请大家研究这三个表面积公2222 22?1000(cm) = 0.1(m). 式的关系. 涂100个花盆需油漆:0.1×100×100 学生讨论，教师给予适当引=1000(毫升). 导最后学生归纳结论. 答:涂100个这样的花盆约需要1000师:下面我们共同解决一个毫升油漆. 实际问题. (师放投影片，并读题) 师:本题只要求出花盆外壁

的表面积，就可求出油漆的

用量，你会怎样用它的表面

积. 生:花盆的表积等于花盆的

侧面面积加上底面面积，再

减去底面圆孔的面积.(学生

分析、教师板书) 2，且1(练习圆锥的表面积为a cm学生独立完成 它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆

锥的底面直径.

2(如图是一种机

随堂练习

器零件，零件下面是六棱柱(底面是正

六边形，侧面是全等的矩形)形，上面

是圆柱(尺寸如图，单位:mm)形. 电

镀这种零件需要用锌，已知每平方米用

锌0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多

少千克(结果精确到0.01kg) 2答案:1( m; ,3a3, 2(1.74千克. 1(柱体、锥体、台体展开图及表学生总结，老师补充、完善 面积公式1. 归纳总结 2(柱体、锥体、台体表面积公式

的关系. 学生独立完成

固化知识

作业 1.3 第一课时

习案

提升能力 备用例题 例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q，Q，求直平行六面体12 的侧面积. 【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底

面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形. 【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线

的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则 ,,clQ,,(1)1, dlQ,,(2),2,11222,()()(3)cda，,,22

QQQQ2221212由(1)得，由(2)得，代入(3)得， c,()()，,ad,ll22ll 222222?，?. QQla，,42laQQ,，1212

22?S =. 42alQQ,，侧12 例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm. 23 3设底面边长为a，则，?a = 4. a,232 ?正三棱柱的表面积为 1S= S+ 2S = 3×4×2 + 2× ，，423侧底 2 2(mm). ,，2483 例3 有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米,(精确到0.01cm)

【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD. 由题意知，BC=10cm，AB = 2cm，点A与点C就是,,，，,0.588 铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 22?AC =(cm). 10(8)27.05，,, 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.

【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.

例4(粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长

分别是80mm和440mm，高是200mm. 计算制造这一下料斗

所需铁板是多少, 【分析】

问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，图4—3—2 需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高. 【解析】如图所示，O、O是两底面积的中心，则OO是高，设EE是斜高，在直角111梯形OOEE中， 11 22EE= EFEF，11 22= OOEOEO，,()111 ?边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.

11125,,,, = = (mm) ?S()()cchnaah，,,，,，，，，,，4(44080)2692.810正棱台侧222 52 答:制造这一下料斗约需铁板2.8×10mm. 第二课时

柱体、锥体、台体的体积 (一)教学目标 1(知识与技能 w

(1)了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式)w (2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系 w

(3)培养学生空间想象能力和思维能力.. 2(过程与方法 k (1)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.s (2)通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的5 计算. u 3(情感、态度与价值观. 通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. c (二)教学重点、难点o 重点:柱体、锥体、台体的体积计算. m 难点:简单组合体的体积计算.来

(三)教学方法

源

讲练结合: 教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

高

教师设问，学生回忆考

1(复习柱体、锥体、台体表面师:今天我们共同学习复习巩固

资新课导入

积求法及相互关系. 柱体、锥体、台体的另一个点出主题

源

重要的量:体积. 网 柱体、锥体、台体的体积师:我们已经学习了正柱体、

1(柱体、锥体、台体的体积公方体，长方体以及圆柱的体锥体、台体

式: 积公式，它们的体积公式是的体积公

V = Sh (S是底面积，h为柱

什么,式只要求柱体

体高)生:V = Sh (S为底面面了解，故采

积，h为高)用讲授式1探索新知 V =Sh(S是底面积，h为锥锥体3师:这个公式推广到一效率会更

体高) 般柱体也成立，即一般柱体高. 体积. 公式:V = Sh (S为底面1,,V =(S′，S()SSSsh，，台体3面积，h为高) 分别为上、下底面面积，h为台体的师:锥体包括圆锥和棱

高)锥，锥体的高是指从顶点向

底面作垂线，顶点与垂足之

间的距离(投影或作出). 锥体

1(S的体积公式都是V = Sh3 为底面面积，h为高) 2(柱体、锥体、台体的体积公式师:现在请对照柱体、

之间的关系

锥体体积公式你发现有什么

结论生:锥体体积同底等高1,, VhSSSS,，，()棱台31的柱体体积的.3 S = S′ S = 0 师:台体的结构特征是

什么, 因台体的V= Sh 柱体1生:台体是用平行于锥体积公式 V= Sh锥体3体底面的平面去截锥体，截的推导需

得两平行平面间的部分.要用到后

师:台体的体积大家可面知识，故

以怎样求, 此处不予

生:台体的体积应该等证明，只

于两个锥体体积的差.要学生了

师:利用这个原理我们解公式及

可以得到台体的体积公式

公式的推

导思路. 1,,V =()SSSsh，，3 其中S′、S分别为上、 下底面面积，Q为台体的高 (即两底面之间的距离) 师:现在大家计论思考 一下台体体积公式与柱体、 锥体的体积公式有什么关培养

系,探索意识，

生:令S′=0，得到锥体加深对空

体积公式. 间几何体

令S′=S，得到柱体体积的了解和

公式. 掌握. 例1 有一堆规格相同的铁制

师:六角螺帽表示的几

(铁的密度是何体的结构特征是什么,你空间37.8g/cm)六角螺准备怎样计算它的体积, 组合体的帽(如图)共重生:六角螺帽表示的几体积计算典例分析 5.8kg，已知底面何体是一个组合体，在一个关键在于是正六边形，边长为12cm，内孔直六棱柱中间挖去一个圆柱，弄清它的径为10mm，高为10mm，问这堆螺因此它的体积等于六棱柱的结构特征. 帽大约有多少个(取3.14，可用计体积减去圆柱的体积. , 算器), 学生分析，教师板书过

解:六角螺帽的体积是六棱柱程. 体积与圆柱体积的差，即

师:求组合体的表面积

和体积时，要注意组合体的31022V,，，，,，，126103.14()10结构特征，避免重叠和交叉4233?2956 (mm) = 2.956(cm) 等. 所以螺帽的个数为 5.8×1000?(7.8×2.956)? 252(个) 答:这堆螺帽大约有252个. 教师投影例2并读题

例2 已知等边圆柱(轴截面

师:要解决此题首先要是正方形的圆柱)的全面积为S，

画出合适的轴截面图来帮助求其内接正四棱柱的体积. 我们思考，要求内接正四棱【解析】如

柱的体积，只需求出等边圆图，设等边圆柱的

柱的底面圆半径r，根据已知底面半径为r，则

条件可以用S表示它.大家想高h = 2r，

旋转

想，这个轴截面最好选择什体类组合?S = S + 侧

体体积计么位置. 222S = 2 +，?,rh26,,rr,底算关键在生:取内接正四棱柱的于找好截S. 对角面. r,典例分析

面，找到这6,师:有什么好处, 个截面，就?内接正四棱柱的底面边长生:这个截面即包括圆能迅速搭柱的有关量，也包括正四棱a=2r sin45?=. 2r好已知和柱的有关量. 未知的桥23?V = S?h = (2)24rrr,,底学生分析，教师板书过梁. 程. SS6,3= 4?，

师:本题是正四棱柱与,,()S269,,圆柱的相接问题. 解决这类即圆柱的内接正四棱柱的体积问题的关键是找到相接几何

体之间的联系，如本例中正6,S为. S2四棱柱的底面对角线的长与9, 圆柱的底面直径相等，正四

棱柱的高与圆柱的母线长相

等，通过这些关系可以实现

已知条件的相互转化. 1(下图是一个几何体的三视图培养(单位:cm)，画出它的直观图，并学生理解随堂练习

学生独立完成

求出它的表面积和体积. 能力，空间

想象能力.

2答案:2325 cm. 2(正方体中，H、G、F分别

是棱AB、AD、AA1 的中点，现在沿三角

形GFH所在平面锯

掉正方体的一个角，

问锯掉的这块体积是原正方体体积

的几分之几, 1答案:. 48 1(柱体、锥体、台体的体积公巩固所学，

式及关系. 提高自我归纳总结

学生归纳，教师补充完善. 2(简单组合体体积的计算. 整合知识

3(等积变换

能力. 固化知识

课后作业 1.3 第二课时

习案

学生独立完成

提升能力

备用例题 例1:三棱柱ABC – ABC中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBCF将三棱柱分11111成体积为V、V的两部分，那么V:V = 7:5 . 1212

【分析】不妨设V对应的几何体AEF – ABC是一个棱台，一个底面的面1111 1积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的;V对应的是一24 个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V来表示. 1 【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V + V = Sh. 12 ?E、F分别为AB、AC的中点 1?. SS,AEF4

117S VhSSSSh,，，,,()134412 5 VShVSh,,,2112 ?V:V = 7:5. 12 【评析】本题求不规则的几何体CB—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—ABC11111和棱台AEF—ABC的体积的差来求得的. 111

例2:一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将

=3.14) 下降几厘米,(, 【解析】因为圆锥形铅锤的体积为 1632(cm) ,,,，,()206032 23设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20?2)x = 100x (cm) ,,所以有60=100x，解此方程得x = 0.6 (cm). ,, 答:铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm. 第三课时

球的表面积与体积 (一)教学目标w 1(知识与技能 w (1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式).w

(2)培养学生空间想象能力和思维能力. . 2(过程与方法k 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. s 3(情感、态度与价值5 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣. u (二)教学重点、难点. 重点:球的表面积与体积的计算 c 难点:简单组合体的体积计算o (三)教学方法 m 讲练结合来

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

源

复习柱体、锥体、台体的表面师生共同复习，教师点出: 新课引入

复习巩固

积和体积，点出主题. 点题(板书) 高

师:设球的半径为R，那43考1(球的体积:,,VR343资，它的么它的体积:,,VR232(球的表面积: SR,4,源2面积现在请大家观SR,4,网 察这两个公式，思考它们都有加强对公什么特点, 式的认识探索新知

生:这两个公式说明球的培养学生体积和表面积都由球的半径R理解能力

惟一确定.其中球的体积是半

径R的三次函数，球的表面积

是半径R的二次函数. 师 (肯定) :球的体积公

式和球的表面积公式以后可

以证明.这节课主要学习它们

的应用.

例1 如图，教师投影例1并读题，学本题较易，圆柱的底面直径与生先独立完成.教师投影答案学生独立高都等于球的直并点评(本题联系各有关量的完成，有利径.求证: 关键性要素是球的半

于培养学

(1)球的体积教师投影例2并读题，生问题解

师:请大家思考一下这道决的能力. 2等于圆柱体积的;3题中组合体的结构特征. (2)球的表面积等于圆柱的生:球内切于圆台. 侧面积. 师:你准备怎样研究这个

证明:(1)设球的半径为R,组合体, 则圆柱的底面半径为R，高为2R.生:画出球和圆台的轴截 面. 43因为， ,,VR球3师:圆台的高与球的哪一 个量相等, 23，VRRR,,,,,22圆柱生:球的直径. 师:根据球和圆台的体积 2所以，. VV,球圆柱3公式，你认为本题解题关键是 什么, 2(2)因为，SR,4,球生:求出球的半径与圆台通过师生

的上、下底面半径间的关系. 讨论，突破2， SRRR,,,224,,圆柱侧师投影轴截面图，边分析问题解决

典例分析

所以，S = S.边板书有关过程. 的关键，培球圆柱侧

例2 球与圆台的上、下底面及养学生空师:简单几何体的切接问侧面都相切，且球面面积与圆台的间想象能

题，包括简单几何体的内外切侧面积之比为3:4，则球的体积与力和问题圆台的体积之比为( ) 解决的能和内外接，在解决这类问题时

A(6:13 B(5:14力. 要准确地画出它们的图形，一C(3:4 D(7:15 【解析】如图所示，作圆台的般要通过一些特殊点，如切

轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆点，某些顶点，或一些特殊的

O内切于梯线，如轴线或高线等，作几何

形ABCD.体的截面，在截面上运用平面 设球几何的知识，研究有关元素的

的半径为位置关系和数量关系，进而把

R，圆台的上、下底面半径分别为问题解决. r、r，由平面几何知识知，圆台的12 高为2R，母线长为r + r. 12 教师投影例3并读题，学??AOB = 90?，OE?AB (E 生先思考、讨论，教师视情况

为切点)，

控制时间，给予引导，最后由 22?R = OE = AE?BE = r?r. 12学生分析，教师板书有关过程. 2师:计算球的体积，首先必须

由已知S?S= 4R?,球圆台侧

先求出球的半径.由于PA、PB、 2(r+r) = 3?4,12PC是两两垂直的而且相等的 三条棱，所以P – ABC可以看 1622(r + r) = ,R.123成一个正方体的一角，四点P、 A、B、C在球上，所以此球可 43,R视为PA、PB、PC为相邻三条 3V?V =球圆台122棱的正方体的外接球，其直径

，，,()2rrrrR,11223为正方体的对角线. 22 22RR6=,.,2 1613()rrrr，,221212RR,3 本题有两故选A. 种解题方例3 在球面上有四个点P、法，此处采A、B、C，如果PA、PB、PC两两用构造法垂直且PA = PB = PC = a，求这个解题，目标球的体积.培养学生解:?PA、PB、PC两两垂直，

联想，转化PA = PB = PC = a.化归的能?以PA、PB、PC为相邻三条力.另一种棱可以构造正方体. 方法，因要又?P、A、B、C四点是球面应用球的上四点，性质，可在?球是正方体的外接球

，正以后讨论. 方体的对角线是球的直径. 3?.23,RaRa,,2 44333? ,,,,VRa()332 33 ,,a2 1((1)将一个气球的半径扩

大1倍，它的体积扩大到原来的几

倍,(2)一个正方体的顶点都在

球面上，它的棱长是a cm，求球的巩固随堂练习

体积. 学生独立完成

所学知识 2(3)一个球的体积是100 cm，

试计算它的表面积(取3.14，结果, 2精确到1cm，可用计算器). 参考答案: 331((1)8倍;(2)(3),acm6 104. 归纳

1(球的体积和表面积

知识，提高学生独立思考、归纳，然归纳总结 2(等积变换

学生自我后师生共同交流、完善 3(轴截面的应用

整合知识

的能力. 固化练习

课后作业 1.3 第三课时

习案

学生独立完成

提升能力 备用例题

例1(已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径

的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积( 【分析】

可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂

直于截面小圆平面( 【解析】

如图，设球心为O，球半径为R，作OO?平面ABC于1 O，由于OA = OB = OC = R，则O是?ABC的外心( 11

设M是AB的中点，由于AC = BC，则O?CM( 1 2222设OM = x，易知OM?AB，则OA = ，OC = CM – OM = – x 2，x62,11111 又OA = OC 11 722222 ? (解得 262，,,,xxx,4 92则OA = OB = OC = ( 1114 R在Rt?OOA中，OO = ，?OOA = 90?，OA = R， 1112 R9236222由勾股定理得(解得( R,()()，,R224 423故( ,,,,,,,,SRVR454,276球面球3 例2(如图所示棱锥P – ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱锥的高( 2a

(1)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径; (2)求四棱锥外接球的半径( 图4—3—9 【分析】(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到

各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解((2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、

C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可(球心O在过底面中心E且垂直于底

面的垂线上(

【解析】(1)设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R( 1113， VSPDaaaa,,,,,,,,PABCDABCD,333

112， SSaaa,,,,,PADPDC22

122， SSaaa,,,,,2PABPBC22

2S = a( ?ABCD V + V + V + V + V ， = VP– ABCDS – PDAS– PDCS – ABCDS– PABs–

PBC 113， aRSSSSS,，，，，()PADPDCPABPBCABCD33

111122322222， aRaaaaa,，，，，()332222P R1a222,23所以，， (22)，,aaRaa,,,,(1)332222，

2F 即球的最大半径为( (1),a2D C (2)法一:设PB的中点为F( 因为在Rt?PDB中，FP = FB = FD， A B 图4—3—10 在Rt?PAB中，FA = FP = FB，

在Rt?PBC中，FP = FB = FC， 所以FP = FB = FA = FC = FD( 所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径( 212222法二:球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ， aREAOEaxOA,，,，,22 1a2222又 OPaxDEaxax,,，,,，,()() 得22 即球心O在PB中点F上( 【评析】方法二为求多面体(底面正多面边形)外接球半径的通法;求多面体内切球半

径经常采用体积分割求和方法(