1.2.3 空间几何体的直观图优质课教案

《空间几何体的的直观图》教学设计

广州市番禺区象贤中学

李彤

一、【课题】空间几何体的的直观图（人教A版数学新课标教材必修2，P2-6）

二、【教学分析】

本课属于规则课，其关键是使学生理解规则是什么和为什么并能运用规则解决不同情景中的数学问题。本课主要学习结果的类型为智慧技能中的规则，属于程序性知识，重点是掌握空间几何体的的直观图的基本画法,因此要求本课的教学：（1）让学生自学斜二测画法的基本步骤;（2）通过举例，让学生用斜二测画法画出水平放置的平面图形和简单空间图形的直观图；（3）通过变式训练，让学生识别直观图所表示的空间几何体. 三、【教学目标】

1、能陈述斜二测画法的基本步骤；

2、能利用斜二测画法，正确画出水平放置的平面图形和简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图。

3、在给定直观图的情况下，能正确陈述其所表示的空间几何体. 教学目标说明：目标1、2是本课的教学重点，目标3是本课的教学难点。

四、【学与教的方式】学生自主学习与教师讲授相结合。

五、【课时安排】

1课时

六、【学习内容及程序】

（一）基础知识回顾

以下知识是前两节课的内容,

其中有一些在本课的学习中将要用到。请同学们阅读一遍。如果不

明白其来历，请跟其他同学讨论或翻书查找。

1、三视图：

正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下

2、直观图（表示空间图形的平面图）：观察者站在某一点观察几何体，把空间图形画在平面内，

画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。

（二）课前自主学习内容与要求：无

（三）课内学习内容及程序

1、告知学习目标，吸引学生注意

自己试画一个圆柱。

教学注记：学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好

物体的直观图。 2、呈现问题，引导学生推导斜二测画法的基本步骤

问题1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

画法：

①

在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交

于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，使X'OY''=450。

②

以O’为中点，在x’轴上取A’D’=AD，在y’轴上取M’N’=12MN。以点N’为中点，画B’C’平

行于x’轴，并且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x’轴，并且等于EF。

③

连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的

直观图A’B’C’D’E’F’。

1 教学注记

教学注记：提醒学生画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形

顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观

图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

3、归纳斜二测画法的基本步骤

①建立直角坐标系：在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

''②画出斜坐标系：在画直观图的纸上画出对应的OX,OY,使X'OY=45（或135），它们确

定的平面表示水平平面；

‘③画对应图形：在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；

‘在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

教学注记：由学生发表自己的见解，教师及时给予点评：注意取点、变与不变

→

小结画法步骤。

’’’’004、模仿练习：根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图。

教学注记：让学生独立完成后，教师检查。

5、课堂讨论：用斜二测画法如何画水平放置的圆的直观图？（正等测画法；椭圆模板）

解：（1）、如图(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，

将线段AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和

y′轴，使∠x′O′y′=45°.

1CD，将A′B′ n等分，

211分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=EF,G′H′=GH，….

22（2）、如图(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=（3）、用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的

水平放置的直观图〔图(3)〕.

教学注记：引导学生明白与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是

要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一

些点。教师组织学生思考、讨论和交流，与学生共同完成并详细板书画法。

6、提供例题分析，让知识转化为技能：

2

例1、用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图. 画法：

00①

画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45,∠xOz=90. ②

画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=3cm.

2分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，

C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

③

画侧棱：过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线

段AA’,BB’,CC’,DD’.

④

成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚

线），就得到长方体的直观图。

教学注记：引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步。

例2、如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

图1．2-13

分析：有几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一

个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：

①

画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=900。

②

画圆柱的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA =OB。选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面。

③

在Oz上截取点O’，使OO’等于正视图中OO’的长度，过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’，

类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。

④

画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。

⑤

成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的几何体的直观图。

(1)

(2)

图1．2-14

教学注记：教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把

握图形尺寸大小之间的关系。也让学生认识到空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，能

3

够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 7、课堂讨论：三视图与直观图有何联系与区别？

空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据

三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空

间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.

8、课堂巩固练习：

（1）、画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm。

（2）、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）

A． 3 B．32 C． 6 D．32

2解：C （3）、正ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为_______ 。

62a

解：16（4）、一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边

形的面积是________________．

解：2

9、课堂小结：

下面请同学们在2分钟内回顾斜二测画法的关键与步骤。

（四）课后巩固训练: 1、下列说法中正确的是（ ）

A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形 D．正方形的直观图可能是平行四边形

答案：D

2、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（

）

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确. 答案：C

3、、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中一边长为4，则此正方形的面积是（

）

A.16

B.64

C.16或64

D.都不对

分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，

4 1

2

于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64. 答案：C

4、利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是___________. 分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直

观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来

的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错. 答案：①②

5、一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（

）

A.26

B.46 C.3

D.都不对

分析：根据斜二测画法，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的

122倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为26，于是其面积为×2×26=26. 2答案：A

6、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该

平面图形的面积等于（

）

A.122

B.1

C.12

D.22

222分析：平面图形是上底长为1，下底长为12，高为2的直角梯形.计算得面积为22. 答案：D

5