习题2.3设计意图

双曲线

及其标准方程y

o

x

汨罗一中 毛国胜

双曲线及其标准方程

汨罗一中

毛国胜

三维目标：

1、

知识与技能：掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法；

2、

过程与方法：通过类比，探究出双曲线的标准方程，能熟练写出两种类型的标准方程；

3、

情感态度与价值观：通过建立适当的坐标系，简化复杂曲线的方程，培养学生数形结合的思想；发展学生用类比的方法探究事物运动规律，进一步认清事物运动的本质。

教学重点、难点：

教学重点：双曲线的定义及其标准方程；

教学难点：双曲线标准方程的推导。

教学方法：合作探究法。

教具准备：电脑、实物投影仪、三角板。

教学过程：

一、情景引入：

1、2008年8月汨罗市政府决定在城区禁止燃放烟花鞭炮，市政府禁爆办在市区设置了若干个观测点，通过观测点听到爆炸点声的时间差就能确定爆炸点的位置，你想知道这是为什么吗？（演示幻灯片）

【设计目的】激发学生学习兴趣。

2、“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆”

类比这个结论，你能提出哪些问题？（演示幻灯片）

由学生展示问题，从中选取“平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？”作为本节课的探究内容。

【设计目的】培养学生善于提问，敢于创新的能力，并由此引入课题。

二、概念形成：

【师】：.演示“拉链动画”：通过观察，你能发现动点M满足的几何条件吗？（演示幻灯片）

【设计目的】从视觉上让学生感受双曲线是怎样形成的。

【生】：|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ①

【师】：如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得另一曲线。（演示幻灯片）

即：|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a ②

由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）

上面两支曲线合起来叫做双曲线。类比椭圆你能给双曲线下一个定义吗？

【设计目的】让学生对双曲线有一个整体上的概念。

1、定义：【生】：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距（学生回答，教师板书）.

【师】：下面以小组为单元进行合作探究。

2、概念的理解：

（1）合作探究：若F1(1,0),F2(1,0)，且动点M满足MF1MF22a

当2a0时，点M的轨迹是 线段F1F2的垂直平分线 ；

当2a1时，点M的轨迹是 双曲线 ；

当2a2时，点M的轨迹是 线段F1F2的延长线和反向延长线 ；

当2a4时，点M的轨迹存在吗？ （不存在）

（由学生合作探究后回答，教师纠错和指导，并演示动画）

【设计目的】通过具体的题目让学生发现概念要注意常数必须小于两定点间的距离。

（2）在△ABC中，顶点B(-2,0),C(2,0), |AB|-|AC|=2，则点A的轨迹（ D ）

y ·

B y ·

C x ·

B y ·

C x ·

B y ·

C x ·

B o ·

C o o o x

A B C D （学生回答，并问学生为什么选D？）

【设计目的】是学生注意定义中的绝对值，没有绝对值表示的是双曲线的一支。

【师】：你能对双曲线的定义做进一步的补充吗？

【生】：①定义的常数（小于|F1F2|），②注意是差绝对值，没绝对值表示是双曲线的一支。

【师】：回答很好。类比椭圆，现在有了双曲线的图象和定义，如何得到双曲线的标准方程呢？请大家用五分钟的时间完成方程的推导。

三、标准方程的推导：

设两定点F1,F2,且F1F22c,若MF1MF22a(2a2c)，求动点M的轨迹方程。

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合. 设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a. 由定义可知，双曲线就是集合

PMMF1MF22a.

因为MF1(xc)2y2,

MF2(xc)2y2,

2222所以得(xc)y(xc)y2a. ①

将方程①化简得(c－a)x－ay=a(c－a). 22222由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c－a>0，令c－a=b，其中b>0，代入上式得

22222222x2y221 (a>0,b>0). 2abx2y2形式一：221 （a>0,b>0）

ab说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c=a+b. （展示学生的推导过程并教师指正）

【设计目的】通过类比椭圆，学会双曲线标准方程的推导。注意化简。

【师】：类比椭圆，焦点位置不同，标准方程也不同，那么焦点在y轴上的双曲线是怎样的呢？

222x2y2中的x,y互换得焦点在y轴上的标准方程【生】：只需将221ab（a>0,b>0）。

y2x21 a2b2x2y2中的x,y互换得焦点在y轴上的标准方程？

【师】：为什么只需将221ab

22222222【生】：(xc)y(xc)y2a与(xc)y(xc)y2a比较结构相同，只是x,y的位置不同。

【师】：回答相当好，善于观察，善于思考。

y2x2形式二：221 （a>0,b>0）

ab说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c=a+b. 【设计目的】培养学生善于观察，善于思考的能力。

【师】：请快速识记上述标准方程和焦点坐标口答一层练习。

222

四、巩固练习：

一层练习：

x2y21。

1、当a=4,b=3且焦点在x轴上的双曲线的标准方程为169x2y21的焦点坐标是 (-5,0),(5,0) ；

2、双曲线169x2y21上一点P到左焦点的距离为10，则它到右焦点距离为（ D ）

3、双曲线169A 2 B 18 C -2 D 2或18 【师】：为什么选D。

【生】：依据双曲线的定义解答。

4、已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(-5,0) 、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程（ C ）

x2y2x2y2x2y2x2y21 B 1 C 1 D 1

A 916169916169 【师】：你是用什么方法求出标准方程的？

【生】：待定系数法。

【设计目的】巩固双曲线的定义，标准方程，并巩固由数到形，由形到数的数形结合的思想。

【师】：请完成二层练习。

二层练习：

1、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点所在曲线的轨迹方程. （由学生分析，教师引导并指出错误）

解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上. 如图，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB 的中点重合. 设爆炸点P的坐标为（x,y），则

PAPB3402680,

即2a=680,a=340. 又AB800,

∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400. ∵PAPB6800,

∴x>0. 所求双曲线的方程为：

x2y21 (x>0). 11560044400（展示学生的练习，由学生点评，并分析解题思路）

【设计目的】进一步巩固双曲线的定义、应用并培养学生分析问题，解决问题的能力。

【师】：上述求曲线方程方法是什么？求解的步骤是？

【生】：定义法，

（求解步骤由教师引导学生回答，定位—定型—定量）

【师】：下面以小组为单元进行探究。

探究：你知道市政府禁爆办是怎样准确确定爆炸点的位置呢？

（让学生发表看法，教师指导并纠错）

利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 【师】：请快速完成当堂检测。

五、当堂检测：

x2y21，则它的焦距是（ A ）

1、已知双曲线的方程为916A．10 B．8 C．3 D．6 2、在双曲线的标准方程中，已知a=6，b=8，则其方程为（ C ）

x2y2x2y2A．1 B．1

36646436x2y2y2x2y2x2C．1或1

D．1 366436643664x2y2x2y21与双曲线1有相同的焦点，则a的值是 7 .

3、椭圆2516a2y2x222221。

4、化简x(y5)x(y5)8得169【师】：为什么？

【生】：从这式子的几何意义知它是焦点在y轴上的双曲线。

【师】：不错，这位同学真是火眼金星，一眼就看出来了。请问我们这节课都学了那些知识？

【设计目的】再一次巩固检测，落实到位。

六、课堂小结：

1、

知识：

（由学生自己说）

【设计目的】让学生学完后做到心中有数。

【师】：我们还学了那些思想方法？

2、

思想方法：

（教师引导学生回答，类比、数形结合的思想方法）

【设计目的】让学生对本节涉及的思想方法有整体上的感知。

3、我的困惑：

【师】：你还有哪些困惑呢？

【设计目的】课堂上提出学生有疑惑的地方。

七、课后作业：

1．

求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

（1）焦点在x轴上，a25，经过点A(5,2)；

（2）经过两点A(7,62)，B(27,3)．

x2y21的焦点相同。

2、求证：双曲线x15y15与椭圆259x2y2-=1表示双曲线，求m的取值范围。

3、已知方程2mm1224、点A,B的坐标分别是(5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

【设计目的】课后巩固新知。

4，试求9八、板书设计：

双曲线及其标准方程

一、双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.

二、双曲线的标准方程：

x2y2 1. 焦点在x轴上：221 (a＞0,b＞0)

aby2x22. 焦点在x轴上：221(a＞0,b＞0) aba、b、c三者间的关系：c2=a2+b2

1.待定系数法 2.定义法

2.步骤：定位—定型—定量

四、思想方法：

类比 数形结合

九、教学反思

本节是在学生学习了椭圆之后，因此在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。时时与椭圆进行比较，不断复习学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。为了突破本节课的难点——双曲线概念的形成。在教学设计中，注重设计两个题：第一个题让学生合作探究感受当a发生变化时，对应的有些不是双曲线，并用动画演示，从视觉上让学生理解，并注意概念中的常数要小于两定点间的距离；第二个题是通过三角形的边的关系，让学生注意定义中绝对值，没有绝对值表示的是双曲线的一支。为了突出本节课的重点，我选出一些小题使学生巩固双曲线的定义、标准方程。总之，在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，要在每个阶段的教学中都必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。

十、教学自评

本节课用不同的活动环节涵盖整个教学的过程，设计理念务实、新颖。教学目标中的知识与能力等目标的定位鲜明清晰。并能以此目标为主旋律，贯通教学全过程。教学重点与难点的掌握比较准确；教学过程中的铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索，推导方程以及等环节连接也基本流畅，与学生的认知起点与整体水平相吻合；学习内容丰富充实，教师能较好地把握课堂的教学活动，教学情境的设置也有利于启迪学生的思维。计算机辅助课堂教学使数形结合的数学思想得到传递；信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的理解和掌握。师生共同诠释和描述的双曲线的形成，使学生对知识的发生、发展以及延伸的过程有更深刻的理解。