1.2.1 充要条件教学设计与反思

5 充分条件与必要条件

教材分析

充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工具．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的判断．

教学目标

1. 结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．

2. 理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．

3. 通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．

任务分析

这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上，主要根据“pq”给出了充分条件、必要条件及充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特别是对必要条件的理解有一定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进行两次推理或判断．

（1）若“条件（2）若“条件结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件．

结论”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件．

教学设计

一、问题情境

［提出问题］

1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假．

原命题：若x＞0，则x2＞0．真命题．

逆命题：若x2＞0，则x＞0．假命题．

否命题：若x≤0，则x2≤0．假命题．

逆否命题：若x2≤0，则x≤0．真命题．

2. “若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．

“若p则q”为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp．

q．

“若p则q”为假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，记作p［进一步的问题］

“若x＞0，则x2＞0”，为真，可记作“p（1）x＞0是x2＞0的什么条件？

（2）x2＞0是x＞0的什么条件？

二、建立模型

1. 学生分析讨论，教师点拔

（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件？

q”．

在这个问题中，“x＞0”是“条件”，“x2＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“条件”成立，则“结论”一定成立，说明“条件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结论”的充分条件．

（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件？

在这个问题中，“x2＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“结论”成立，则“条件”一定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，则“结论”不一定成立，说明“结论”是“条件”的必要条件．

2. 师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义

如果已知p3. 充要条件

问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？

解：（1）p（2）qq，即p是q的充分条件．

q，那么，p是q的充分条件，q是p的必要条件．

p，即p是q的必要条件．

综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．

如果pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．

4. 提出问题，组织学生讨论

如何判断充要条件？

（1）分清谁是条件p，谁是结论q．

（2）进行两次推理或判断，即判断p（3）根据（2）写出结论．

三、解释应用

［例

题］

1. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．

（1）p：x＞0；q：x2＞0．

（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）

（2）p：x＝y；q：x2＝y2．

（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）

（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．

（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）

（4）p：两直线平行；q：内错角相等．

（p是q的充要条件，q是p的充要条件）

（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．

（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）

2. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．

（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．

q是否成立，qp是否成立．

（3）p：a≠0；q：a·b≠0．

（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．

（5）p：x≤5；q：x≤3．

［练

习］

1. 下列各组命题中的p是q的什么条件？

（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．

（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．

（3）p：a＞b；q：a2＞b2．

（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝（5）p：x＞-1；q：x＞1．

（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．

2. （1）如果原命题若p则q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．

（2）如果原命题若p则q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．

（3）如果原命题若p则q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．

（4）如果原命题若p则q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．

四、拓展延伸

1. 已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，

（1）S是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）p是q的什么条件？

2. “关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？

3. “3x2－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？