3.1.3 空间向量的数量积运算公开课教案（教学设计）

3.1.3 空间向量的基底运算

一、新知预习

阅读教材P92—P95，完成下列练习。

二、预习检测

1．以下四个命题中正确的是

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

ABACC．△ABC为直角三角形的充要条件是→·→＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

2．下列说法中不正确的是

[来源学科网ZXXK]A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面

C．纵坐标为0的向量都共面

D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直

OGOAOBOC3．设O—ABC是四面体，G是△ABC的重心，若→＝x→＋y→＋z→，则(x，y，z)为

1A.3

12B.4

C.3

D．(1,1,1)

[来源学科网]4．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是

ABABA．向量→与点B的坐标相同

B．向量→与点A的坐标相同

ABOBABOBOAC．向量→与向量→的坐标相同

D．向量→与向量→－→的坐标相同

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，

ABDC1若正方体的棱长为1，则→的坐标为__________，→的坐标

B1D为__________，→的坐标为__________．

三、重难点突破

ABADAA1例1：如图，在正方体AC1中，取→＝a，→＝b，→＝c作为基底．

BD1(1)求→；

MN(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求→.

OAOCOO′例2：平行六面体OABC—O′A′B′C′，且→＝a，→＝b，→＝c.

AC′(1)用a，b，c表示向量→；

[来源:Z|xx|k.Com]GH(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示→.

例3：已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的三等分点且PN＝MN2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求→的坐标．

[来源:Z§xx§k.Com]

四、当堂检测

1.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，

A1B1A1D1A1AB1M设→＝a，→＝b，→＝c，则下列向量中与→相等的

向量是

[来源:Z§xx§k.Com]

11A．－2a＋2b＋c

11C.2a－2b＋c

11B.2a＋2b＋c

11D．－2a－2b＋c

2．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________．

EFA1D3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若→＋λ→＝0 (λ∈R)，则λ＝______. 五、

课后练习

1．在以下3个命题中，真命题的个数是

①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；

②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0

B．1

C．2

D．3 OAOBOCOAOB2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝→＋→＋→，向量b＝→＋→－OC→，则与

a、b不能构成空间基底的是

OAOBOCOAOBA. →

B．→

C.→

D.→或→

3．以下四个命题中，正确的是

A.若1OA1OB＝2→＋3→，则P、A、B三点共线

B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底

ABACC．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|

D. △ABC是直角三角形的充要条件→·→＝0 4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若OAOBOCx→＋y→＋z→，则(x，y，z)为

111333111222A．(4，4，4)

B．(4，4，4)

C．(3，3，3)

D．(3，3，3) 5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是

A．(12,14,10)

B．(10,12,14)

C．(14,12,10)

D．(4,3,2) OAOBOC6.已知空间四边形OABC中→＝a，→＝b，→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BCMN的中点，则→等于

121211111221A.2a－3b＋2c

B．－3a＋2b＋2c

C.2a＋2b－2c

D.3a＋3b－2c

7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．

ABCD8.已知空间四边形ABCD中，→＝a－2c，→＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为＝

EFE、F，则→＝____________. 9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，则x＋y＋z＝______. 10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，POOAOCOP平面OABC，设→＝a，→＝b，→＝c，E、FABBCCC1＝x→＋y→＋z→，BFBEAEEF分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示→、→、→、→. 11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求

DC、→的坐标．