2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计内容推荐

空间中直线与平面之间

的位置关系

知识梳理

1．空间中直线和平面的位置关系有三种：

(1)直线和平面相交——有且只有一个公共点；

(2)直线在平面内——有无数个公共点；

(3)直线和平面平行——没有公共点．

2．空间中两平面的位置关系有两种：平行、相交．

3．(1)空间中的平行关系的转化与联系：

(2)直线与平面平行的判定定理：平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

(3)直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行．

(4)平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

(5)平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

4．(1)空间中的垂直关系的转化与联系：

(2)直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

(3)直线与平面垂直的性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．

(4)垂直于同一个平面的两条直线平行．

(5)平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．

(6)平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

重难点提醒：平行与垂直的证明，求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，点、线、面位置的判定．

一、题型导向

【例1】(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D1与平面BDC1的位置关系是(

)

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．直线B1D1在平面BDC1内

【答案】A (2)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，PA＝AD，则异面直线PD与BC所成角的大小是______．

【答案】45°

【例2】(2014年湖南省学业水平考试真题)如图1，矩形ABCD中，AB＝2BC，E，F分别是AB，CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角AEFC(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成角的大小为____________．

图1

图2 【答案】45°

【例3】(2016年湖南省学业水平考试真题)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD. (1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥PABCD的体积．

【解析】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AC.

故AC⊥平面PBD.

(2)因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角．

于是∠PBD＝45°，因此BD＝PD＝2.

又AB＝AD＝2，

所以菱形ABCD的面积为

S＝AB·AD·sin 60°＝23.

故四棱锥PABCD的体积为

143V＝S·PD＝. 33【例4】(2015年湖南省学业水平考试真题)已知正方体ABCDA1B1C1D1. (1)证明：D1A∥平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角．

【解析】(1)证明：因为D1C1綊DC，DC綊AB，

所以D1C1綊AB，

所以四边形D1C1BA为平行四边形．

所以D1A∥C1B，

又因为D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，

所以D1A∥平面C1BD.

(2)如图，连结D1B1，AB1，

因为D1B1∥DB，

所以∠AD1B1为异面直线D1A与BD所成的角．

又因为D1A＝D1B1＝AB1，

所以△AD1B1为正三角形，

所以∠AD1B1＝60°.

所以异面直线D1A与BD所成的角为60°. 【例5】如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC＝3，BD＝4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．

(1)求证：EF∥平面BCD；

(2)求三棱锥ABCD的体积．

【解析】(1)证明：因为点E，F分别是AC，AD的中点，所以

EF∥CD，

又因为CD⊂平面BCD, EF⊄平面BCD，

所以EF

∥平面BCD.

(2)因为AB⊥平面BCD，所以∠ADB是直线AD与平面BCD所成的角，

即∠ADB＝45°，

在Rt△ABD中，AB＝BD＝4，

所以三棱锥ABCD的体积为

1VA－BCD＝S△BCD·AB

311＝×

×3×4×4＝8.

32【例6】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝2.

(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；

(2)求证：AC⊥平面BB1D1D. 【解析】(1)∵D1D⊥平面ABCD, D为D1在平面ABCD内的射影，

∴直线BD为直线D1B在平面ABCD上的射影，

∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角，

∵D1D⊥平面ABCD，

∴DD1⊥BD, 即∠D1DB＝90°.

∵底面ABCD是正方形且AB＝1，∴BD＝2.

DD12在Rt△D1BD中，tan∠D1BD＝＝＝1.

BD2∴∠D1BD＝45°.

∴直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°.

(2)证明：∵D1D⊥平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

又∵DD1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，且DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BB1D1D.