习题1.2板书设计

第一节

空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

[归纳·知识整合] 1．空间几何体的结构特征

①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形

多面体

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形

③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形

①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到

②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到

旋转体

③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到

2．中心投影与平行投影

平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点．在平行投影中投影线垂直于投影面的投影称为正投影．

3．三视图与直观图

三视图

空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等

空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是：

①画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴的线直观图

段．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

②画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变

1

[自测·] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(

) A．圆柱

B．圆锥

C．球体

D．圆柱，圆锥，球体的组合体

2．(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有(

)

A．②③⑤

C．③⑤

B．③④⑤

D．①③

3．(教材习题改编)已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为(

)

A．上面为棱台，下面为棱柱

B．上面为圆台，下面为棱柱

C．上面为圆台，下面为圆柱

D．上面为棱台，下面为圆柱

4．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(

) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形

B．梯形的直观图是平行四边形

C．正方形的直观图是菱形

D．平行四边形的直观图仍是平行四边形

5．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥

②四棱锥

③三棱柱

④四棱柱

⑤圆锥

⑥圆柱

空间几何体的结构特征

[例1]

下列结论中正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

1．下列命题中，正确的是(

) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

B．侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥

2

C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体

D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

空间几何体的三视图

[例2]

(1)(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

(2)(2012·厦门质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(

)

A．三棱锥

C．四棱台

B．四棱锥

D．三棱台

由三视图还原实物图应明确的两个方面

(1)首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图，较复杂的几何体也是由这些简单几何体组合而成的．

(2)要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图．

空间几何体的直观图

[例3]

如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．

2.

本例若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积，”应如何求？

3

3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

) A．正方形

C．菱形

易误警示——三视图识图中的易误辨析

[典例]

(2012·陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

) B．矩形

D．一般的平行四边形

[变式训练]

若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(

) A．球

C．正方体

B．三棱锥

D．圆柱

2．(2013·西城模拟)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个(

)

4

A．棱台

C．棱柱

B．棱锥

D．都不对

3．一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则原梯形的面积为(

) A．2

C．22

B.2 D．4 4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(

)

5．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(

)

6．一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于8，俯视图是一个面积为43的正三角形，则其侧视图的面积为(

) A．43

C．82

B．83 D．4 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

5

7．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的序号为________．

8．一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由________个这样的小正方体组成．

9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

11．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

6

12．如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图(2)(3)所示(单位：cm)．

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的数据，求该多面体的体积．

．

7

解析[自测·] 1．解析：选C

由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．

2．解析：选C

根据棱柱结构特征可知③⑤是棱柱．

3．解析：选C

由三视图可知，此几何体由上面的圆台和下面的圆柱组合而成的．

4．解析：选D

由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有D正确．

5．解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．

答案：①②③⑤

空间几何体的结构特征

[例1]

答案]

D

1解析：选D

对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误．

空间几何体的三视图

[例2]

[答案]

(1)D

(2)B 空间几何体的直观图

16[例3]

所以S△ABC＝×a×6a＝a2. 22解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为126166a××＝a，故其面积S△A′B′C′＝a×a＝a2.

2282816

3．解析：选C

易误警示——三视图识图中的易误辨析

[典例]

[解析]

侧视图中能够看到线段AD1，应为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.[答案]

B

8 32

[变式训练]

解析：选B

由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．解析：选D

圆柱的三视图，分别是矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形．

2．解析：选A

从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．

3．解析：选D

直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图11＝y(x＋2y＋x)＝2，而原梯形为直角梯形，其面积S＝·22y(x22＋2y＋x)＝22×2＝4. 4．解析：选C

由正视图和侧视图可知，该长方体挖掉一个小长方体后，相应位置在俯视图中应为左下角位置，且可看见轮廓线，故选C. 5．解析：选C

若俯视图是等边三角形且为图中的位置，则正视图是等腰三角形，且高线是实线，故选C. 6．解析：选A

由三视图知该几何体是正三棱柱，设其底面边长为a，高为h，则其正视图为矩形，矩形的面积S1＝ah＝8，俯视图为边长为a的正三角形，三角形的面积S2＝a2＝43，则a＝4，h＝2，而侧视图为矩形，底边为ah＝43. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．答案：①③④

8解析：依题意可知这个几何体最多可由9＋2＋2＝13个这样的小正方体组成答案：13 9．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋22.答案：2＋22 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．解：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为1∶16，设半径分别为r、4r. 设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质3433a，高为h，故侧视图的面积为S＝22

9

33＋l＝r4r，解得l＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.

11．

解：图①几何体的三视图为：

图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．

12．解：(1)如图．

(2)所求多面体的体积V＝V11长方体－V正三棱锥＝4×4×6－3×2×2×2×2＝2843(cm3)．

10 得