1.2.1 充要条件课堂实录

1.2.2充要条件

一、教学目标

（一）教学知识点

（二）能力训练要求

1．充要条件的概念．

1．理解并掌握充要条件的概念．

2．判断命题的条件的充要性的方法．

2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．

3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．

3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．

二、教学重点

1．理解充要条件的意义．

2．命题条件的充要性判断．

三、教学难点

命题条件的充要性判断．

四、教学过程

（一）．复习回顾

1、什么是充分条件和必要条件? 2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件? （1）若a是无理数，则a＋5是无理数．

（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．

（二）．讲授新课

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，这时p既是q的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．同理，q也是p的充要条件. 命题（1）中因：a是无理数a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无理数a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充要条件．

命题（2）中因“a＞ba＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋ca＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．

（三）．例题讲解

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，

q：xy＞0；

（3）p：a＞b，

q：a＋c＞b＋c；

（4）p：两直线平行；

q：两直线的斜率相等. 命题（1）中因pp，所以p是q的充要条件．

命题（2）中因“同位角相等两直线平行”，所以p是q的充要条件．

命题（3）中因“x＝3x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．

命题（4）中因“四边形的对角线相等

四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形

四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．

例2.已知p、q是r的必要条件，s是r

的充分条件，q是s的充分条件问：

（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）p是q的什么条件？

例3.

p：x∈{x|－1

q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围.

解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．

则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}x∈{x｜x＜3}，即x∈P．

故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．

例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.

五、课堂小结：

1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.

六、课后作业

1、指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

（1）p：（x－2）（x－3）＝0，q：x－2＝0 （2）p：同位角相等，q：两直线平行．

（3）p：x＝3，q：x2＝q．

（4）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

（5）p：x2＝3x+4，q：x＝3x4

2、设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件?

13、已知p：｜5x－2｜＞3，q：

x

2



4

x



5

＞0．则p是q的什么条件?