3.1.2 导数的概念ppt课件配套教案内容

课 题： 3.1.2导数的概念

教学目的：

1.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法. 2.理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数. 3.理解函数在一点处可导，则函数在这点连续

教学重点：导数的定义与求导数的方法. 教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法. 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： １．曲线的切线

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

yy=f(x)QyPOxMx

2.确定曲线c在点P(x0,y0)处的切线斜率的方法：

因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

tan=limx0f(x0x)f(x)ylim

xx0x3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

4. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t 表示时间),求物体在t0时刻的速度．

从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度

瞬时速度vlimvlimt0s(t0t)s(t0)

t0t二、讲解新课：

过渡：从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数

学表达式结构是一样的,即计算极限f(x0)lim是我们要学习的导数的定义.

1.导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比/x0f(x0x)f(x0) ,这就xyy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限xx趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/xx0，即 f(x0)lim/x0f(x0x)f(x0)

x注意：(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0

(3)y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何x

意义是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率

(4)导数f(x0)lim/x0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处x瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度

它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx0)

(5)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关

(6)在定义式中，设xx0x，则xxx0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因此，导数的定义式可写成

f/(x0)limxof(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim

xx0xxx0(7)若极限lim不可导

x0f(x0x)f(x0)不存在，则称函数yf(x)在点x0处x(8)若f(x)在x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线存在反之不然，若曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线，函数yf(x)在x0不一定可导，并且，若函数yf(x)在x0不可导，曲线在点（x0,f(x0)）也可能有切线

2. 导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，戒烟最好的方法 www.jieduke.cn 戒烟产品

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此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x), 称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/，即f/(x)＝y/＝lim/函数yf(x)在x0处的导数yyf(xx)f(x)lim

x0xx0xxx0就是函数yf(x)在开区间xx0(a,b)(x(a,b))上导数f/(x)在x0处的函数值，即y/数yf(x)在x0处的导数也记作f/(x0)

＝f/(x0)所以函注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函/数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值

3.可导: 如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导

三、讲解范例：

2例1:(1)求函数y=x在x=1处的导数;(2)求函数y=x+ 在x=2处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求y，x最后求limx0y. x解：(1)y(1x)2122x(x)2,

y2x(x)22x,xx

limylim(2x)2,y|x12.x0xx0

(2)y(2x)11x(2)x,2x22(2x)

yxxx12(2x)1,x2(2x)

limy1133lim[1]1,y|x2.x0xx02(2x)444

例与练：计算下列函数的导数：

（1）y=f(x)=c; （2）y=f(x)=x; 2（3）y=f(x)=x; （4）y=f(x)= ; 小结：求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x)

xxy/（3）取极限，得导数y＝f(x)lim

x0x（2）求平均变化率例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:

(1)limx0f(x0x)f(x0)f(x0h)f(x0h);(2)lim.

h0x2h分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

解：(1)原式limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)limx0(x)x

f'(x0);(2)原式limf(x0h)f(x0)[f(x0h)f(x0)]h02hf(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)1[limlim]

h0h02hh1[f'(x0)f'(x0)]f'(x0).2练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 戒烟最好的方法 www.jieduke.cn 戒烟产品

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f(x0mx)f(x0);(2)limx0x0x1答案：(1)mf(x0);(2)f(x0).

t(1)lim练习2:设函数f(x)在点f(x0x)f(x0)t

xx=a处可导,试用a、f(a)和f(a)表示limaf(x)xf(a).

xaxa解:limaf(x)xf(a)a[f(x)f(a)](xa)f(a)limxaxaxaxa

f(x)f(a)alimf(a)af(a)f(a).xaxa四、课堂练习：

21．求y=2x+4x在点x=3处的导数. 解：Δy=2(3+Δx)+4(3+Δx)－(2×3+4×3)=2(Δx)+16Δx，222y=2Δx+16 x∴limx0y=lim (2Δx+16)=16，即y′|x=3=16 xx02.已知y=x4，求y′

xx4x4，yxxx4x4

x解：Δy=∴limx0xx4x4xylim=lim

x0xxx0x(xx4x4=limx0111，∴y′=

xx4x42x42x4五、小结

：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤. f′(x0)=y′|xx0 =limx0f(x0x)f(x0)y=lim

x0xx

f′(x)=y′=limx0f(x0x)f(x)y=lim

xx0xy，③取极限f′(x0)= x三个步骤：①求函数的增量Δy，②求平均变化率x0limy，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件

x六、课后作业：

1.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

22.在曲线y=2x－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则y等于

x22A.4Δx+2Δx B.4+2Δx C.4Δx+Δx D.4+Δx

3.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则

A.f′(x0)>0

B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0

D.f′(x0)不存在

4.已知命题p:函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q:函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.设函数f(x)在x0处可导，则limh0(x0h)f(x0h)等于

hA.f′(x0)

B.0 C.2f′(x0) D.－2f′(x0) 6.设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于

A.0

B.1 C.－1

D.不存在

7.若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是___. 38.曲线y=x在点P（2，8）处的切线方程是___________. 29.曲线f(x)=x+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=___________. 2210.两曲线y=x+1与y=3－x在交点处的两切线的夹角为___________. 11.设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则limf(xax)f(xbx)=_____. x0x七、板书设计（略）

八、课后记：

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