1.2.3 空间几何体的直观图特级教师教学实录

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

1.2.1—1.2.2 空间几何体的三视图和直观图

编制人:高一数学组 审核人:

【使用说明】: 1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题.. 2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范. 3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究,教师指导等方式解决. 4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】

1. 掌握平行投影的性质和三视图原理．

2. 识画三视图．

※自主研读学习单※

阅读教材P11～13，回答下列问题：

1．投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上留下这个物体的影子，这种现象叫做

投影

，把光线叫做

投影线

，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

(2)投影的分类

①中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做

，中心投影的投影线

．

②平行投影：把一束平行光线照射下形成的投影叫做

，在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做

，平行投影的投影线

．

2．三视图

（1）三视图定义

三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是光线从几何体的前面，上面，左面，分别向

几何体

正投影得到的投影图．

(2)三视图排放规则

“长对正、高平齐、宽相等”即：正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽.

注意：正视图与侧视图也常称作主视图与左视图．

(3)常见几何体的三视图

①圆柱的正视图和侧视图都是

，俯视图为

．

②圆锥的正视图和侧视图都是

，俯视图是

③圆台的正视图和侧视图都是

，俯视图是

④球的三视图都是

．

※合作探究学习单※

探究点一：平行投影与中心投影的概念

．

．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

1

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

[例1] 给出以下结论：

①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确结论的序号是________．

[解析] 当平面图形与投影线都垂直于投影面时，①②都错；两相交直线的平行投影一定不平行，③错；线段中点的投影一定是线段的中点，故④正确．

总结：(1)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

(2)一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．

(3)在物体的平行投影中，如果投影线与投影面垂直，则称这样的平行投影为正投影．

正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：

①垂直于投影面的直线或线段的正投影是点．

②垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．

(4)在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出．

练习1：

下列图形中采用了中心投影画法的是

( A )

探究点二：三视图的画法

三视图的画法关键是要分清观察者的方向，应从正面、左面、上面三个方向去观察图形，然后画出三视图．

[例2] 画出下图所示几何体的三视图．

[解析] 三视图如下图所示．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

2

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

[点评] (1)三视图的训练有助于我们空间想象能力的培养，有利于今后应用数学知识解决工程建设、机械制造及日常生活中的问题．

(2)画图时要保证“长对正、高平齐、宽相等”．

(3)画三视图时，三视图可以和实物图或直观图保持尺寸大小相同，也可以缩小或放大尺寸，但要点是按比例放缩．

练习2：

添线补全下列物体的三视图．

[解析] 作三视图时，由三个方向观察几何体，可见轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，正视图与侧视图都缺半圆柱体与棱柱相交的交线．

该物体正确的三视图如下：

探究点三：由三视图想象几何体的形状

[例3] 下面是某立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．

[解析] 该立体图形为长方体，如下图所示．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

3

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

[点评] 想象力的培养与多观察实物相结合是解决此类题目的关键．

练习3：

下面是两个几何体的三视图．

则(1)中几何体是______，(2)中几何体是________．

[答案] (1)三棱柱

(2)四棱锥

[解析] (1)中几何体是三棱柱，(2)中几何体是四棱锥，如图．

探究点四：组合体的三视图

[例4] 下图中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．

[解析] (a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

4

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

随堂练习：

一、选择题

1．(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为

(

)

[答案] C [解析] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C. 二、解答题

2．画出下图所示几何体的三视图．

[解析] 三视图如下图所示．

3．下面是某立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

5

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

[解析] 该立体图形为圆锥，如下图所示．

4．下图中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它们的侧视图．

[解析] (a)的组合体可以看作是如下图(1)中几何体的组合，正视图与俯视图中都应画出中间的柱体与圆柱的交线，所以图(b)不正确，正确视图如下图(2)．

5．下图是某希望学校的一座水塔，试画出它的三视图．

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

6

洛阳市东方高中高一数学必修二学习单

解析：

你争我辩，争辩课堂精彩

你说我论，论说数学真谛

7