1.2 充分条件与必要条件（通用）设计意图

充分条件和必要条件

教学目标：

1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；

3．掌握判断命题的条件的充要性的方法

4.培养学生的辩证思维能力．

教学重点及难点：

1．充分条件、必要条件的判断；

2．理解充分条件、必要条件的判断方法．

讲授新课：

一、复习引入

同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子．那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．

二、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请判断下列命题的真假：

⑴若ab，则acbc；

⑵若ab，则acbc；

⑶若x0，则x20；

⑷若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

三、讲授新课

1．推断符号“”的含义：

例如命题⑵、⑶、⑷为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．此时可记作“pq”．

又例如命题⑴为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记

1

作“p．

q”用推断符号“”写出下列命题：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

2．充分条件与必要条件

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．

由上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？

应注意条件和结论是相对而言的，由“pq”等价命题是“qp”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件．

⑴p：x10，q：x1x20；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

⑶p：ab，q：a2b2；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类？

可分为四类：

⑴充分不必要条件，即pq，而qp；

⑵必要不充分条件，即pq，而pq；

⑶既充分又必要条件即充要条件，既pq，又有qp；

2

⑷既不充分也不必要条件，即pq，又有qp．

练习

课本P10

练习1、2、3、4

3．从集合角度理解：

探究问题：

p表示某元素属于集合P，q表示该元素属于集合Q，如何用集合间的关系理解“pq”的含义？

探究结论：

“pq”就是“xPxQ”即“PQ”．

练习：课本P13

1

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．

（1）要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p：xy2；q：x、y不都是1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则xy2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若xy2，则x、y都是1”假的

故p是q的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

练习：已知p：x2或x方法一：p:2；q：x2或x1，则p是q的什么条件？

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x2

q:1x23显然p是q的的充分不必要条件

方法二：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

“若p则q”等价于“若q则p”真的

“若q则p”等价于“若p则q”假的

故p是q的的充分不必要条件

（2）要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M是N的充分不必要条件，N 是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性

3

MNPQ

显然M是Q的充分不必要条件

（3）充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x的一元二次不等式ax21ax于一切实数x都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

a0由题可知等价于a0或a0a0或0a40a4

0

（4）充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例：一元二次方程ax22x10,(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

（A）a0 （B）a0

（C）a1 （D）a1

2练习：设f(x)x4x，则f(x)0的一个必要而不充分条件是（ ）

A、x0 B、0,4 C、0,2 D、1,5

答案：C D 例4：证明：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

必要性：对于x、yR，如果x2y20

则x0，y0

即xy0

故xy0是x2y20的必要条件

不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2y20

故xy0是x2y20的不充分条件

综上所述：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

4

例5：（10班）p：2x10；

q：1mx1mm0．若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由于p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

于是有

1m2

101mm9

例5、（7班）已知：p:1x12,

3q:x22x1m20(m0)若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。

分析：先求得p:2x10

q:1mx1m(m0)

解：由题意得：pqqp既q是p的充分不必要条件，则m0{x1mx1m}{x2x10}，1m100m3

1m2评述：AB，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件。

练习：

1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，

命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题

丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是

命题甲的什么条件．

2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．

3．已知ab0，求证：ab1的充要条件是：a3b3aba2b20

答案：1、（必要不充分的条件）

2、（充分不必要条件）

五、课后作业：

课本P12

习题1.2

A、4、B、2

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