1.1.1 命题第二课时教学设计

1．1.1

命

题

预习课本P2～3，思考并完成以下问题

1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？

2．在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？

[新知初探]

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.命题分类：假命题：判断为假的语句.形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

[点睛]

(1)判断一个语句是命题的两个要素：

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假．

(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题(

) (2)“x2－3x＋2＝0”是命题(

) 答案：(1)√

(2)×

2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”(

) A．不是命题

C．是假命题

答案：B 3．下列语句中，是假命题的是(

) A．一条直线有且只有一条垂线

B．不相等的两个角一定不是对顶角

C．直角的补角必是直角

D．两直线平行，同旁内角互补

答案：A 4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______，结论q为________．

答案：一个正整数

不是合数就是素数

B．是真命题

D．不能判断真假

命题的判断

[典例]

判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)x2－x＋7>0. π[解]

(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

127x－2＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．

(4)因为x2－x＋7＝24

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．

[活学活用]

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；

(2)任何集合都是它自己的子集；

(3)对顶角相等吗？

(4)x>3. 解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，能判断真假，是命题．

(3)不是陈述句，不是命题．

(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题. 判断命题的真假

[典例]

判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解]

(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

命题真假的判定方法

(1)真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

[活学活用]

下列命题中真命题有(

) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；

③互相包含的两个集合相等；

④空集是任何集合的真子集．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

解析：选A

①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集. 命题的结构形式

[典例]

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解]

(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要

注意有的命题改写形式不唯一．

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．

(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

层级一

学业水平达标

1．下列语句不是命题的有(

) ①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．

A．0个

C．2个

解析：选C

①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．

2．(陕西高考)设z是复数，

则下列命题中的假命题是(

) A．若z2≥0，则z是实数

C．若z是虚数，则z2≥0

B．若z2＜0，则z是虚数

D．若z是纯虚数，则z2＜0

B．1个

D．3个

解析：选C

实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2ab＝0，＝a－b＋2abi，由z≥0，得2则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而2a－b≥0，222

选项C为假，选项D为真．

3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是(

) A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交

D．若α，β相交，则a，b相交

解析：选D

由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．

4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4 C．0

B．2

D．－3 解析：选C

方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．

5．已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的，

则其体积缩小到原来的；

28②若两组数据的平均数相等，

则它们的标准差也相等；

1③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

2其中真命题的序号为(

) A．①②③

C．①③

B．①②

D．②③

4R3143解析：选C

对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR，故体积缩小到原来的32831，命题正确；

8对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；

112对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的222半径，所以直线与圆相切，命题正确．

6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．

解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；

④是真命题；

⑤祈使句，不是命题．

答案：②③④

④

7．给出下面三个命题：

①函数y＝tan x在第一象限是增函数；

②奇函数的图象一定过原点；

③若a>b>1，则0，解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan6364464ππ但tan2π＋

x③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．

答案：③

8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，

∴ax2－2ax－3≤0恒成立．

当a＝0时，－3≤0恒成立；

a<0，当a≠0时，则有

2Δ＝4a＋12a≤0，

解得－3≤a<0. 综上，－3≤a≤0. 答案：[－3,0]

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

(1)乘积为1的两个实数互为倒数；

(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一直线平行的两个平面平行．

解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．

p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．

(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．

10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B

构造的命题“若p，则q”为真命题．

1＋a解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可5

1＋a知≥1，解得a≥4；

51＋a1＋a若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知55≤1，解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若2x>1，则x>”．

5层级二

应试能力达标

1．在空间中，下列命题正确的是(

) A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一平面的两条直线平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

解析：选D

A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D. 2．下面的命题中是真命题的是(

) A．y＝sin2x的最小正周期为2π

cB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0 aC．如果M⊆N，那么M∪N＝M

D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角

解析：选B

y＝sin2x＝1－cos 2x2π，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝22N，故C为假命题；在三角形ABC中，当AB·BC>0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B. 3．下列命题为真命题的是(

) 11A．若x＝y，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y

D．若x

解析：选A

很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A. 4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

)

A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

解析：选C

命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C. 5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，

∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，

∴命题为真命题．

答案：a>0

二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)

真

0，0

ln x，x≥1.＋

①若a>0，b>0，则ln(ab)＝blna；

＋＋②若a>0，b>0，则ln(ab)＝lna＋lnb；

＋a＋＋③若a>0，b>0，则ln≥lna－lnb；

b＋＋＋④若a>0，b>0，则ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln(ab)＝ln ab＝bln a＝blna；当0

＋＋＋＋同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．

1＋＋＋对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln(ab)＝0，lna＋lnb＝1＋0＝1，故②为假命e题．

综上可知，真命题有①③④. 答案：①③④

7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；

若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2. 命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，

m≤1，m>1，即或所以1

故实数m的取值范围是(1,2)．

8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．

解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：

1当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－b；

当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0. 综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．