2.2.2 椭圆的几何性质课堂实录【1】

解析几何的综合应用（二）

一、课前自主导学

1.已知λ∈R,则不论λ取何值，曲线C： xxy10

恒过定点 （1,1）

2.若过点P（2,1）的直线l与抛物线y24x交于A，B两点，且1OP(OAOB)，则直线l的方程为 y=2x-3 2x2y23.过椭圆1的左焦点作直线交椭圆于A（x1,y1）,B(x2,y2),若437x1+x2=-1,则AB=

2二、要点热点探究

2题型一

定点问题

x2y2例1若椭圆221的焦点在x轴上，过点Q（1,2）作圆O:x2y24ab的切线，切点分别为S，T,直线ST恰好经过椭圆的右顶点A和上顶点B. ⑴求椭圆方程；

⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点M（不同于点A），满足：对于圆O上任一点P，都有Y

P

O M

解：(1)由题意可知，O、S、Q、T四点在以OQ为直径的圆上，ST为两圆的公共弦

则以OQ为直径的圆方程为：(x1)x(y2)y0

. PA为一常数，试求所有满足条件的点M的坐标.

PMA X 圆O:x2y24

两圆相减得x2y4

∴A（4,0），B（0,2）

x2y21.

∴椭圆方程为：164

(2)方法1：假设存在这样的点M(m,0)

当P为圆C与x轴左交点

(-2,0)时，

PA6；

PMm2当P为圆C与x轴右交点(2,0)时，

PA2，

PMm2依题意，62，解得，m=1或m=4（舍去）, m2m2PA为一常数。

PM下面证明

点M(1,0)对于圆O上任一点P，都有设P(x,y)，则y24x2，

PA2(x4)2y2x28x164x2208x

∴24，

2222PM(x1)yx2x14x52xPA=2为常数。

PMPA222方法2：假设存在这样的点M(m,0)，使得为常数(且0)，则PAPM，

PM从而2222222(xm)y∴(x4)y，将代入得，

y4x22222x28x164x22x2mxm4x，即208x2mxm4

22220(m4)∴(2m8)x0对x[3,3]恒成立，

m240m1m4∴，解得或（舍去），

222120(m4)0所以存在点M(1,0)对于圆O上任一点P，都有

PA为常数2. PM

变式探究：是否存在一定点N，使圆O上任一点P，都有

PA为一常数？

PN

题型二

定值问题

解析几何解答的繁琐程度往往受制于解题方法和策略的选择.对于同一问题，选择的参数不同，计算量就可能不同.恰当引入参数，可以把相关或不相关的量统一在一个参数下，减少变量，简化结构，便于快捷而准确地解题. x2y2例3：已知点F是椭圆1的一个焦点，过F作一条与坐标轴不垂259直的直线l，交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线l'交x轴于点M.试判断由. 解：设

A（x1,y1）,B(x2,y2)，且x1≠x2,AB的中点N（x0,y0），依题意有x12y12x22y221…②

1…①，259259B Y A F O M N X AB是否为定值，说明理FM②-①得，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0

259

又∵x1x22x0，y1y22y0

∴ky1y2x1x29x025y0

341则线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx0)

k令y0,可得xMky0x016x0. 25∴FMxM444x025.

25设直线AB的方程为yk(x4)(k0,k)，

又根据椭圆的第二定义，可得

AB2ex02a242x054x025,

55∴AB2255.

FM542评注：本题中AB的中点同时也在AB的垂直平分线上，故选取AB的中点坐标为参数，便于运用点差法来求解，简单明快，易于操作。

题型三

定直线问题

三、练习

1.已知圆C：x2y24mx2my20m200(m2)，则圆过定点 ，

圆心的轨迹方程为 x22.已知椭圆C:y21的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交2C于点B，若FA3FB,则|AF|= 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2222.又由椭圆的第二定义,得|BF||AF|2.

32333.已知圆C:x2y29，点A(5,0)，直线l:x2y0. ⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有

解：⑴设所求直线方程为y2xb，即2xyb0，

PB为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.

PA直线与圆相切，∴|b|21223，得b35，

线方程为∴所求直y2x35

---------------------5分

⑵方法1：假设存在这样的点B(t,0)，

PB|t3|；

PA2PB|t3|当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，，

PA8|t3||t3|9依题意，，解得，t5（舍去），或t。

------------------------------8285当P为圆C与x轴左交点(3,0)时，分

下面证明

点B(,0)对于圆C上任一点P，都有设295PB为一常数。

PA，

∴P(x,y)，则y29x29188118(x)2y2x2x9x2(5x17)PB9552525，

22222PA(x5)yx10x259x2(5x17)25从而分

方法2：假设存在这样的点B(t,0)，使得22222PB3为常数。

------------------------------15PA5PB222为常数，则PBPA，

PA22∴(xt)y[(x5)y]，将y9x代入得，

x22xtt29x22(x210x259x2)，即

2(52t)x342t290对x[3,3]恒成立，

---------------------------8分

∴52t0,351342t290,，解得9或t5（舍去），

t5所以存在点B(9,0)对于圆C上任一点P，都有PB5PA为常数35。

---------------------15分