3.2.1 几个常用函数的导数公开课教案

教学课题

选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数

一、知识与技能：

1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。

2．掌握五个公式，理解公式的证明过程；

二、过程与方法：

1. 通过本节的学习，使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数yc、

课标要求

yx、yx2、y1、yx的导数公式；

x2.掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．

三、情感态度与价值观：

1.通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

2. 注意培养学生归纳类比的能力；

知识点

知识点1 五个公式

知识点2 五个公式的推导过程

知识点3 利用五个公式求函数的导数

识记

∨

理解

应用

综合

∨

∨

1.五种常见函数的导数的求解步骤

目标设计

22.五种常见函数yc、yx、yx、y1、yx的导数公式

x3. 熟练运用这五个公式正确求函数的导数

认知层次

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？

情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？

问题1：函数值的增量y是什么？（0）

问题2：自变量的增量x是多少（x(xx)x）

问题3：

yy?与x的取值有关吗？

=？limx0xx1

问题4：你得到的函数yc的导数是什么？（yc0）与c的取值有关系吗？

情境三 学生探究：你能独立完成②yx，③yx2，④y1这几个函数的导函数吗？

x问题1：函数②的导数是什么？（y1）若是改为ycx呢？

问题2：函数③的导数是什么？（y2x）若改为y2x2呢？

问题3：函数④的导数是什么？（y11y）若改为呢？

xx2情境四：再探究：

1.以上四个函数的导数求解过程中用到的变形方法都是常见的提公因式，通分，合并同类项等初级方法，你能否还用以上方法求出函数⑤yx的导数呢？yxxxx，再往下如何化简？根据经验我x们知道，应该能够把分母上的x约去才行（因为取极限时x0，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：1xxx(xxx)(xxx)=

xx(xxx)xxx1=ylimylimx0xx01xxx2x

2.你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？

①c(cx0)0cx01②x(x1)1x11x01③(x2)2x212x12x

1111111112④()(x)1xx2⑤(x)(x2)x2x2

xx222xnn1推广：（1）若yxn(nQ)，则ynxn1（幂函数）ycx(nQ)ycnx（2）若，则（类幂函数）

111函数

yc

'yx

'yx2

y1

xyx

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

导函数

y0

y1

y2x

'y'11y

2x2x习题设计：

1. 给出下列命题,其中正确的命题是___________(填序号) （知识点1，易）

(1)任何常数的导数都为零; (2)直线y2x上任一点处的切线方程是这条直线本身; (3)双曲线y1上任意一点处的切线斜率都是赋值; x2(4)函数y2x和函数yx在(0,)上函数值增长的速度一样快. 2. 已知f(x)x2,则f(3)（ ） A．0 B．2x C．6 D．9 （知识点3，易）

3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为

的点为（ ） （知识点3，中）

42

1111A．(0,0) B．(2,4) C．(,) D．(,)

416244. 函数f(x)138x2x2，且f(x0)4，则x0= （知识点3，难）

5.已知直线x2y40与抛物线y4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上2求一点P，使ABP的面积最大。 （知识点3，难）

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