5.2 任意角的三角比优质课教学设计

5.2 任意角的三角比（一）（教案）（2课时）

教学目标：

(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

(2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；

(3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．

教学重点：任意角的三角比的定义．

教学难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．

教学过程

一、引入

复习：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：

PsinMPOMMPOM cos

tan cot

OPOPOMMPOM把锐角置于平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P在角的终边上，设它的坐标为(x,y)，它与原点的距离rx2y20，由锐角三角比的定义，得

角的对边QPy角的邻边OQxsin cos

斜边OPr斜边OPryP(x,y)rαy角的对边QPy角的邻边OQxtan

cot

角的邻边OQx角的对边QPyOxQx发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，今天我们用这种方法来定义任意角的三角比. 二、任意角三角比的定义

设是一个任意角，在的终边上任取一点P(x,y)（除原点），则P与原点的距离rx2y20，

y叫做的正弦 记作： sinrx比值叫做的余弦 记作： cosry比值叫做的正切 记作： tanx比值比值y

rx

ry

xxx叫做的余切 记作： cot

yyrr叫做的正割 记作： sec

xx比值比值rr叫做的余割 记作： csc yy

提问1：对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角终边上的位置是否有关？

利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角的终边上的位置无关．

提问2：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？

(1) 当角的终边在纵轴上时，即k2(kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；

(2) 当角的终边在横轴上时，即k(kZ)时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义.

k(kZ)从而有：cos

R

sec

k(kZ). 2tank(kZ)csck(kZ)sinRcot2说明：

(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2) OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，只有这样，才能说明角是任意的. (3) sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积，其余五个符号也是这样. (4) 三角比值只与角的大小有关. (5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别: 任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 三、例题

例1、已知角的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值.

答：siny3y3313x2213 cos tan

x2r13r131313

cotx2r13r13 sec csc y3x2y3提问：若将P(2,3)改为P(2a,3a)(a0)，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分a0和a0两种情况进行讨论）

例2 求角

7的正弦、余弦和正切的值。

4例3、对于终边与坐标轴重合的角，可在他们的终边上取点P，由点P的坐标得到它们的三角比，见表，



sin点P坐标

cos

tan

cot

sec

csc

0 1,0

0 1 0 不存在

1 不存在

2

0,1



1,0

32

0,1

四、课堂练习

1、若角的终边过点P(3,0)，则下列值不存在的是

（A）sin

（B）cos

(C)sec

(D)cot2、已知角已知角的终边经过点(3,4)，求的六个三角函数值.

3、求56的六个三角比的值。

4、填表



sin

cos

tan

cot

sec

csc

2



）

（

五、三角比的一种几何表示

（一）单位圆和有向线段

(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆. (2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段. 设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T. 规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；

当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；

当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；

根据上面规定，则OMx,MPy,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

sinyyxxyMPcosxOMr1r1 tan yMPATATxOMOA

（二）三角线定义

这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．

cot5551sec2csc2444，，.

（三）例题

2例1：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线 (1) 3 (2) 3

如图，正弦线、余弦线、正切线分别为MP,OM,AT．

例2.求证：当为锐角时，sintan．

证明：如右图，作单位圆，当2时作出正弦线MP和正切

线AT，连PA，111OAMPOAPAOAATSOPAS扇形OPASOAT22，

2

0

sintan

（四）课堂练习

1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线，并通过测量它们的长度写出其正弦值、余弦值、正切值。

（1）

2、已知角的终边上有一点P(3t,4t)(t0)，求角的六种三角比。

2 （2）

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