6.4 反三角函数多媒体教学设计及其点评

反

正

弦

函

数

教学目标

1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数yarcsinx是函数ysinx,x,的22反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数yarcsinx的概念，掌握符号arcsinx的含义，并会用以表示角；

2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；

3.会用数学思想分析和思考问题。

教学重点

在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。

教学难点

反正弦函数yarcsinx,x1,1的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题。

教学过程

一、

回顾复习

我们今天学习反正弦函数。

三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值，这是我们学习过的，例如，正弦函数ysinx它就是一个角值函数，任意角x都有唯一确定的正弦值y与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。例如：x其正弦值y表示为ysin2。

而另一类相反的问题是已知比值求角值，例如：已知角x的正弦值为1，那么角x如何表26，其正弦值y可以表示为ysin61；x2，2示呢？

（可以表示为x2k或x65）

2k(kz)；6

1如果已知角的正弦值是，那么角x又如何表示呢？

3这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题？

我们说正弦函数ysinx研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。

二、

引入课题

我们学习过反函数，知道反函数的概念，也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。

那么正弦函数是否存在反函数呢？

（学生作答：答案是否定的。学生说出理由：因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。）

正弦函数不存在反函数，那么怎样利用正弦函数，由正弦值确定相应的角值呢？

通过一个例子来说明问题。

关于x的式子sinx么这个结果从何而来？

首先你能写出的满足条件的x是哪个？

15，x可以表示的角有无数多个，为x2k或x2k(kz)，那6621，因为sin，由x

，还可以写出哪些满足条件的x，是2k(k为什么？z)，66266（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）

还有其他满足条件的x吗？

（有！，因为根据诱导公式sin515）

sinsin，所以x2k(kz)。66662通过这个例子，我们说用正弦值表示相应角值时，只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。

所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。

那么选取怎样的区间，使得ysinx存在反函数呢？

依据两个原则：

（1）所取区间ysinx在该区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1。

依据这两个原则选择怎样的区间呢？

学生回答、讨论，不断补充完善。

（先选择0,，因为它包含了所有的正锐角和零角，但不符合原则（2），补上,0，22因为,取到ysinx的一切函数值，并且,0与0,是连接在一起的，且关于原2222点对称，应用方便）

所以，选取闭区间,，使得ysinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今22天要学习的反正弦函数。

三、

认识符号arcsinx

1．引进符号arcsinx

由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数，而是函数ysinx，,的反函数。用一22个记号来表示，引进记号：xarcsiny。

选择arcsin表示反正弦函数是有道理的。arcsin中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，它是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧l与圆心角有什么关系呢？lr，在单位圆中r1，即l，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以arcsin从字面上理解就是正弦值为y所对应的角，因此用arcsiny记反正弦函数是有道理的。

表示正弦值为y所对应的角，等号是“是”的意思，所以，xarcsiny

即：正弦值为y所对应的角是x，x是正弦值为y所对应的角。因为反正弦函数xarcsiny是函数ysinx，,的反函数。所以，自变量y的取值范围就是原来函数的值域1,1，22

因变量x的取值范围就是原来函数的定义域,，因为arcsiyn是x，故而22arcsiny,，且sinarcsinyy。

22

2．反正弦函数的值

我们来看具体的例子：

11（1）反正弦函数值arcsin表示,范围内的一个角，并且sin，这个角就是，226221即arcsin=。

2611（2）反正弦函数值arcsin表示,范围内的一个角，并且sin，要想知道这3322个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题：已知11sinx,x,，x如何表示？现在我们知道了，x可以表示为arcsin。

3322（3）式子arcsin2表示什么？等于多少呢？我说它等于1，对吗？

因为arcsiny中y1，所以arcsin2无意义！

对于反正弦函数值arcsiny有如下需要我们注意的： 1)

当y1时，有意义；

2)

表示,的角值；

223)

sinarcsinyy。

3．反正弦函数

习惯上，x表示自变量，y表示因变量，将反正弦函数记作：

yarcsinx，x1,1，y,

22四、反正弦函数的性质

1、定义域；1,1

2、值域：,

223、奇偶性：奇函数（用定义证明，证明过程略）

4、单调性：增函数

5、最值：x1,ymin2，x1,ymax2

y五、反正弦函数的图象

可以根据反正弦函数的性质描点得到图像，也可以利用原来函数图像与反函数图像关于直线yx对称翻折而得到。

21y=arcsinxy=xy=sinx由学生自己画出图像，从反正弦函数的图像中，形数结合，再让学生直观了解反正弦函数的性质。

o12x六、提出问题(结束整节课)

今天主要解决的问题是如何用正弦值表示相应的角值以及反正弦函数的概念。现在我们能用任一正弦值y表示,这个范围内的角值，221那么对于其它范围，其它区间上的角值如何去表示呢？例如：sinx,x,中的x如何32表示呢？大家思考一下，我们将在下节课中共同研究这个问题。

教学设计说明

1、教材分析

我们使用的是上海市二期课改的教材。本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜。而本章节教材，内容翔实，主次分明。在这个章节上，教材写的言简意赅，给了教师很大的发展空间。针对不同的学生有了更多的不一样的适合学生的设计！反正弦函数是紧接着学习了三角函数之后的内容。反正弦函

数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用！特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用。而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用。

2、教学目标的设计

遵循二期课改的“以学生发展文本”的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼,思维活跃,学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质，反函数等，我设计了恰当的教学目标，使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解。

3、教学过程的设计

知识是方法的载体，我们不仅要学习数学知识，还需要通过学习发现问题，进而解决问题，本节课直入主题，以问题驱动，引导学生积极思考，共同解决问题，从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数，从对记号的引入到反正弦函数，从反正弦函数的性质到反正弦函数的图像，问题步步深入，在此过程中使学生形成质疑精神，并共同参与其过程，整个教学过程遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题，反正弦函数的概念通过多角度的思考，使得学生真正理解和掌握。

4、本节课的特点

强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中；对整个“反正弦函数”概念的来龙去脉包括对反正弦函数记号、

含义的理解都与学生一起经历，使学生不仅知其然，而且还知其所以然。本节课的密度强，但是是适合我校学生数学学习特点的。