3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课堂实录【1】

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

【学习目标】

1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；

2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 【学习过程】

一、获取新知

1．基本初等函数的导数公式

函数

导数

f(x)c(c为常数)

f(x)xn(nQ*)

f'x0

f'xnxn1

f'xcosx

f'xsinx

fxsinx

fxcosx

f(x)ax

f(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

f'xaxlna(a0)

f'xex

f'(x)1(a0且a1)

xlna1f'x

x1

2．导数运算法则

1．f(x)g(x)f(x)g(x)

'''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

'''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)3．(g(x)0)

2g(x)g(x)'推论：cf(x)cf(x)（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

''二、学以致用

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05tln1.05

所以p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

x3（1）yx2x3

（2）y

＝（2 x2－5 x

＋1）ex

（3）y

＝x；

4解：

2

例3．日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%

（2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()100x(100x)2'因为c'(90)吨．

因为c'(98)0(100x)5284(1)5284

(100x)2(100x)2528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/2(10090)5284所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

1321，2(10090)

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

三、课堂练习

11. 函数yx的导数是（

）

x1111A．12

B．1

C．12

D．1

xxxx

2. 函数ysinx(cosx1)的导数是（

）

A．cos2xcosx

B．cos2xsinx

C．cos2xcosx

D．cos2xcosx

cosx3. y的导数是（

）

xsinxA．2

B．sinx

xxsinxcosxxcosxcosxC．

D．

22xx

4. 函数f(x)138x2x2，且f(x0)4，则x0=

sinx5.曲线y在点M(,0)处的切线方程为

x[来源

3

6.求下列函数的导数

（1）ylog2x

（2）y2ex

（3）y2x33x24

（4）y3cosx4sinx

（5）yxlnx

（6）ylnx

（7）yx3log2x；

（9）y2x53x25x4；

7. 已知函数yxlnx.

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数在点x1处的切线方程.

x

（8）yx31sinx；

（10）yxnex

4