3.1.3 导数的几何意义教案教学设计

§3.1.3导数的几何意义

项目

内容

课题

教学目标

（1课时）

1．了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

备注

2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程．

重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

教学重、难点

难点：对导数几何意义的理解．

教学准备

一、导入新课：

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我们在初中学习圆的切线时知道，当直线和圆有唯一的公共点时，直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广到一般曲线的切线呢？即是否“当直线和曲线有唯一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线”？显然这种推广是不妥当的．如图中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y＝sinx.直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C不止有一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线，那么如何求出这样的切线呢？

教学过程

我们已经学***均变化率、导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的瞬时速度．我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、讲授新课：

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当割Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，线PPn的变化趋势是什么？

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我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

图3.1-2 k问题：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线xnx0无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即klimx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

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函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim线的斜率；

x0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点(x0,f(x0))的切x③利用点斜式求切线方程y-f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．（二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即: f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

。

(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

三．例题分析

2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. 第

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（3）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2[(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

y(1x)2(1x)23x

（3）解：xx

y(1x)2(1x)2f(1)limlim(3x)3

x0xx0x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

根据h(x)4.9x26.5x10，图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，第

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在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

(1.0,0.48)，作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，则它的斜率为：k0.480.911.4

1.00.7所以

f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

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t

药物浓度瞬时变化率f'(t)

四．课堂练习

0.2

[ ]0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

2．求曲线y五．拓展训练

电子白板给出问题，先练后讲。

课堂小结：

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义。

布置作业：

x在点(4,2)处的切线．

P.80 3,4,6 §3.1.3导数的几何意义

①曲线的切线及切线的斜率;②导数的几何意义;③导函数的概念

④函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

板书设计

例1 练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

2．求曲线yx在点(4,2)处的切线．

导数的几何意义是后面导数应用的基础，教学时需结合图形进行分析，以让学生更好地理解和把握这一结论。“以直代曲”是后面单调性与教学反思

导数关系的基础，教学时可结合多媒体进行图像放大展示，使学生理解在切点附近，曲线与切线非常接近。

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