1.4.3 含有一个量词的命题的否定名师课堂实录

含有一个量词的命题的否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

引入：

①命题

“若p，则q”的否定：“若p，则┐q”；

②含有逻辑联结词的否定：

p∧q的否定： ┐p∨┐q p∨q的否定： ┐p∧┐q ┐p的否定：

结论 : 1.全称命题的否定是特称命题. 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论：

全称命题p: ∀x∈M ,p(x)，

它的否定ㄱp: ∃x0∈M,ㄱp(x0)，

2.特称命题的否定是全称命题

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论：

特称命题p: ∃x0∈M ,p(x0)，

它的否定ㄱp: ∀

x∈M,ㄱp(x)，

例题 例1 :写出下列特称命题的否定：

（1）p：

∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. 答:（1）ㄱp：

∀x∈R, x²+2x+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数.

例2 :写出下列命题的否定,并判断其真假：

（1）q：至少有一个实数x,使x³+1=0

（2）r：任意两个等边三角形都是相似的; （3）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0. 答:

（1）ㄱq：

∀x∈R, x3+1≠0. 假

（2）ㄱr：

存在两个等边三角形,它们不相似; 假

（3）ㄱs：

∀x∈R, x²+2x+2≠0. 真

模仿练习 写出下列命题的否定：

（）nZ，nQ

1（

2）任意素数都是奇数（）每个指数函数都是单调函数

3（角形

4）有些三角形是直角三

5（）存在一个实数，它的绝对值不是正数(6)有些梯形是等腰梯形

模仿练习2. 写出命题“x,y ∈R,若xy=0，则x=0或y=0”的否定及否命题，并判定真假。

解：否定为：

“x,y ∈R,若xy=0，则x≠0且y ≠ 0” 假命题

否命题为：

“ x,y ∈R,若xy ≠ 0，则x≠0且y ≠ 0” 真命题

典例1、全称命题与特称命题的判断：



判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．



(1)有一个实数α，tan α无意义；



(2)任何一条直线都有斜率吗？



(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；



(4)圆内接四边形，其对角互补；



(5)指数函数都是单调函数．

例2、

将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．



(1)实数的平方是非负数；



(2)整数中1最小；



(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；



(4)对于某些实数x，有2x＋1>0；



(5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α. [题后感悟] 同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：

例3 判断下列命题的真假：

2(1)∀x∈R，x＋2x＋1>0；

(2)∃x0∈R，|x0|≤0；

(3)∀x∈N，log2x>0；

(4)∃x∈R，sin x＝π. 00*2

练

练

习：习：

（）下列全称命题中，真命题是：（1（1）下列全称命题中，真命题是：（

A.A.所有的素数是奇数所有的素数是奇数

2B.xR,(x1)B.xR,(x1)20011C.xR,xC.xR,x22xx）11D.x(0,),sinxD.x(0,),sinx222sin2sinxx））2AA..xxRR,,xx222xx3300BB..至少有一个至少有一个xxZZ，，xx能被能被22和和33整除整除（）下列特称命题中，假（22）下列特称命题中，假命题是：（命题是：（CC..存在两个相交平面垂直存在两个相交平面垂直于同一直线于同一直线2D.x{x是无理数},xD.x{x是无理数},x2是有理数是有理数

3（）用符号“”“”表示下列含有量词的（3）用符号“”“”表示下列含有量词的命题：命题：

实数的平方大于等于；实数的平方大于等于00；

存在一对实数，使存在一对实数，使22xx33yy3300成立成立..

11（4）已知：对xR,ax（4）已知：对xR,ax恒成立，则恒成立，则aa

xx..的取值范围是

的取值范围是

2变式：已知：对xR,x变式：已知：对xR,x2axax1100恒成立，恒成立，

则..则aa的取值范围是的取值范围是

2变式：已知：对变式22：已知：对xxRR,,xx2axax1100恒成立，恒成立，

则..则aa的取值范围是的取值范围是

课堂小结

全称命题与存在性命题的否定

全称命题： p: 

x∈A, p(x), 它的否定是：

￢p: 

x∈A, ￢p(x). 存在性命题： q: 

x∈A, q(x), 它的否定是：￢q: x∈A, ￢q(x). 全称命题的否定是存在性命题, 存在性命题的否定是全称命题.