3.1.1 空间向量及其加减运算教案1

3.1.1-3.1.2空间向量及其线性运算1 高州二中

冯艳

教

材

分

析

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学***面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复***面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

1.学生已经学***面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。

2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。

1.知识与技能目标：

（1）了解空间向量的概念；

（2）掌握空间向量的加减数乘运算；

（3）掌握空间向量的运算律。

2.过程与方法目标：

（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；

（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；

（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。

3.情感态度价值观目标：

（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；

（2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。

学情分析

教学目标分析

教学重点难点



教学重点：

空间向量的线性运算；



教学难点：

体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）

多媒体教学、问题式教学、

讲授法、类比法、讨论法、

自主学习、合作探究

教学策略

过教学内容

程

复

（一）创设情境，导入新课

习国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）引观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际入

位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？

D

OB

AOB图1

A

图2 如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？

设计意图

图1中的引入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟悉。课堂上追问学生，若登顶东方明珠D又该如何表示，既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）。课堂教学中，起到了很好的引入效果. 学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有很多的相似性，与其再次由教师喋喋不休地重复，不如让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。

合

(二)精读教材，概念类比

作

问题一：基本概念的类比

学

平面向量

习定义

既有大小又有方向的量

探平移

自由向量，平移后不发生究改变

新表示法

几何表示：

知

字母表示：a，AB

向量的模

相等向量

相反向量

单位向量

零向量

向量的大小：a，AB

方向相同且长度相等

方向相反且长度相等

长度为1的向量

长度为0的向量

空间向量

空间向量

1、定义：把空间中具有大小和方向的量

2、表示：用有向线段表示为向量a、向量b、向量AB

3、分类：零向量：长度为0的向量，表示=0 单位向量：模长为1的向量，表示==1 相等向量：大小相等方向相同的向量；相反向量：大小相等方向相反的向量。

问题：空间中任意两个向量会共面？

因为向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．（可放到后面习题里讲）



(三)跳出平面，明确概念

此环节的设计，以题目形式出例1：给出下列命题：

现，第一：让学生→①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC＝明确空间向量的基本概念和平面→让A1C1；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

向量是一样的，学生在不知不觉→→→中“跳出平面，踏④在四边形ABCD中，必有AB＋AD＝AC. 入空间”；第二：其中正确命题的序号是________．

对于跟踪练习的【思路探究】

(1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎第4个问题是下面在运算法则和运→样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD满足什么条件时，才有AB算律类比中非常重要的一个结论，→→高中阶段学习的＋AD＝AC？

向量是“自由向→→，所以任意两【自主解答】

①正确；②正确，因为AC与A1C1的大小和方量”个空间向量都可向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确以“平移”到同一之所以→→→个平面内，定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有AB＋AD＝AC. 没有单独拿出来作为思考进行，是综上可知，正确命题为①②. 因为想让学生在变式：给出以下命题：

不知不觉中完成①

两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；

平面向量到空间②

若空间向量a和b满足ab，则a=b；

向量的思维跨越，同时也自然衔接③

空间中任意两个单位向量必相等；

到下面的类比当④

空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面中。

内的两个向量。

学生明确了其中正确命题的个数是_______. 任意两个空间向

(四)合作交流，运算类比

量都可以“平移”

问题二：线性运算法则的类比

到同一个平面内

平面向量

空间向量

的结论后，那么涉

及两个空间向量的运算法则和运算律的问题，显而减法运算

三角形法则

易见是可以平稳对接的，教学过程数乘运算

中让学生合作交ka（k为正数，负数，流，相互倾听彼此零）

的声音。实际教学

的小组讨论中出

问题三：运算律的类比

现疑义较多的还

平面向量

空间向量

是关于加法结合加法交

律是否需要图形

abba换律

验证的问题。学生说的是求空间三加法结

abcabc

个向量和的问题，合律

可是要是能够更顺理成章的进行数乘分

abab

运算，必须要保证配律和加法结合律在空结合律

aa

间依旧成立才是可以的。接下来借

助引例中的图2，

(五)独立思考，形成结论

让同桌二人分工经历了结合律图形验证后，抛出任意三个不共面的向量和如何协作，一个用图形计算？利用平行六面体进行求和，再一次验证了结合律的正确性，求左边的向量，一同时又得到了第2个重要的结论：“三个不共面的向量的和等于以个求右边的向量，这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。”

很轻松的验证成结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一功，同时让学生把个平面内的两个向量；

两个图放到一起结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六就看出了四面体面体的体对角线所表示的向量。

这个空间几何体，

又一次跳出平面，跨入了空间。

加法运算

三角形法则或平行四边形法则

例题分析点拨提升

(六)题组巩固，深化理解

题组1：如右图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

1、CBBA1；

2、ACCBA1C1MB11AA1；

2题组一旨在帮助学生熟练空间向量的线性运算法则，并借助空间几何体增强学生对空间向量线性运算的直观感知；题组二表明向量ACBOF可以用三个两两互相垂直的3、AA1ACCB

变题：

1、OA1A1A2A2A3单位向量i，j，k线性表示，为后面学习空间向量基本定理以及正交2、OA_______________。

AnO1A1A2A2A3分解和坐标表示作好铺垫；

OADBCADB111题组2：如图，在长方体中，OA3，OB4，课堂教学中先练后评，及时反馈。DB11OC2，OIOJOK1，点E，F分别是DB，的中题组二中的三个变题旨在让F动起点。设OIi，OJj，OKk，试CB1来，依旧可以完成要求。既体现了从用i，j，k表示OE和OF。

FK特殊到一般的归A1D1变题：

纳推理，同时又加OJBI强了空间向量运1、

点F为D1B1的三E算的直观感知（首D等分点（靠近A尾相连，连首尾）。继而推广为一般，表示OF？

B1）性的提问，若点F是空间任意一点，2、

点F为D1B1的四等分点（靠近B1），表示OF？

An1An_______________；

k能否用用i，j，3、

点F为D1B1的n等分点（靠近B1），表示OF？

拓展：若点F是空间中任意一点，能否用i，j，k表示？

表示向量OF？这样的教学不仅为后续知识学习作好铺垫，也指导学生学会在研究问题方法上进行迁移。

归纳整理提

高认识

教

学

后

记

1、

学生总结（提示学生从知识和思想方法上进行总结梳理）

2、

教师总结（体现在板书的生成上，主要让学生明确本节课的体系，让学生明确研究问题的基本思路和方法）