探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案1

课题：椭圆及其标准方程

（教案）

人民教育出版社A版

学校：云南省文山州文山市第二中学

姓名：胡亚雄

课题：椭圆及其标准方程

教材分析:本节课选自人民教育出版社A 版，普通高中课程标准实验教科书----数学选修2—1第二章2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程，从知识上说，《椭圆及其标准方程》是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。因此，本节课有承前启后的作用，是本章的重点。另外，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这两种思想，都将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

一、教学目标

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、实图和动画演示，描绘出圆和椭圆轨迹图形。回顾圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.，得出圆的轨迹图

2、实验演示。

演示椭圆画法

椭圆轨迹图

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

笔尖到F1,F2的距离大于F1,F2之间的距离

（二）实验探究，形成概念

1、实验探究：

（1）使绳长等于F1,F2之间的距离，画出的图像是怎样的？

（2）使绳长小于F1,F2之间的距离时，画出的图象是怎样的？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

绳长等于F1,F2之间的距离，图像是一条线段，绳长小于F1,F2之间的距离时，画不出任何图像，所以图像不存在。

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

F1

P F2

椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为F1,F2的椭圆上任一点P，有什么性质？

令椭圆上任一点P，则有PF1PF22a(2a2cF1F2)

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

求动点轨迹方程的一般步骤：

1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点P的坐标;

2、写出点P适合的条件

;

3、用坐标表示点P满足的条件，列出方程

;

4、化方程为最简形式。

2.探讨建立平面直角坐标系的方案

问题：如图已知焦点为F1,F2的椭圆，且F1F2=2c,对椭圆上任一点M，有

MF1MF22a，尝试推导椭圆的方程。

P F1

F2

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一

方案二

y

y

F2P

O x O x F1F2

P F1

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.

3.推导方程

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程: 下面看焦点坐标在x轴上

设P (x, y)是椭圆上任意一点，

椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，

则F1,F2坐标分别是(c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)

由椭圆的定义得，限制条件：

|PF1||PF2|2a由于

|PF1|(xc)2y2,|PF2|(xc)2y2得方程

(xc)2y2(xc)2y22a（问题：下面怎样化简？）

移项，再平方

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2整理得

acxa(xc)y22222222两边再平方，得

42

a2acxcxax2acxacay2222整理得

(ac)xaya(ac)2a2c,即ac,所以22222acb(b0),ac0,设22222222由椭圆定义可知

所以

b2x2a2y2a2b2

所以焦点在X轴上椭圆的标准方程为：

x2y221(ab0).2aby2x2选定方案二建立坐标系，师生共同完成方程讨论，可得出2+2=1，同样也有baa2－c2 = b2 ( b > 0 )。

x2y2y2x2教师指出：我们所得的两个方程2+2=1和2+2=1（ab0）都是椭abba圆的标准方程。

椭圆的标准方程的特点

Y

F1

(-c,0

P O F2

(c,0X

x2y221(ab0)2abM O F2(

0 , c) X F1(

0,-c)

yx21(ab0)2ab22

（四）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：b2a2c2(ab0)；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

2、在归纳总结的基础上，填下表

标准方程

x2y2+2=1(ab0)

2aby2x2+2=1(ab0)

2bay

图形

y P F2F2

x F1

O

P

x O F1

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

(c,0)

b2a2c2

(0,c)

在x轴上

在y轴上

课堂练习：求椭圆中a,b 的值

22

22

x2y21

3.96

xy1.1，53x2y22.221，46x2y24.1 74

（五）例题研讨，变式精析

例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。

x2

(1)y21 422xy解：椭圆方程具有形式

212

ab

其中

a2,b1因此

ca2b2413 两焦点坐标为

(3,0),(3,0) 椭圆上每一点到两焦点的距离之和为

2a4

22xy

(2)1

45y2x2

21(ab0)解：椭圆方程具有形式

2ab

其中a= 因此 =15ca2b254，

所以两个焦点坐标为（0，-1）（0，1）

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为2a= 25

练习1.下列方程哪些表示椭圆？

2222

xy

(1)11616

x2y2

22(4)

24k16k

分析：（1）不是 （2）是 （3）不是 (4)不确定

xy(2)125161(3)9x25y2250

2.求适合下列条件的椭圆方程

1.

)a＝4，b＝3，焦点在x轴上；

22xy分析：因为焦点在X轴上，方程为

+2=1 a>b>022ab2

y1所以椭圆方程为：

x169

2.)b=1，c= 15，焦点在y轴上

y2x2分析：焦点在Y轴上，方程为：

221(ab0)ab

222abc所以a=4

因为b=1,c= 因为 15

2所以椭圆方程为：

y21

x16

3、若椭圆满足: a＝5 , b＝3, 求它的标准方程。

分析：因为不确定焦点所在轴，所以要分两种情况

221、当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：

xy1

259

2yx212、当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：

259

x2y23.已知方程

+

=1

表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围m是

. 4

分析：因为焦点在X轴上，且a>b>0,所以0

（六）小结归纳，提高认识

一种方法：求椭圆标准方程的方法

x2y2y2x2二类方程：

221 21 ab02abab

三个意识：求美意识，

求简意识，前瞻意识

标准方程

x2y2+=1(ab0)

a2b2y2x2+=1(ab0)

a2b2y

图形

y P F2F2

x F1

O

P

x O F1

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

(c,0)

b2a2c2

(0,c)

在x轴上

在y轴上

（七）作业训练，巩固提高

作业：

Ｐ42

练习题1.2.3.4

Ｐ49

习题2.2

第2题

《课时练》