3.1.1 变化率问题全国优秀课堂实录

石林民族中学高二数学选修1—1 第3章导数及其应用

3.1.1 变化率问题教学设计

学习目标

知识与能力：理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理，会求函数在某点处附近的平均变化率；

过程与方法：通过从实际生活背景中引出数学模型的过程来引入平均变化率，学会数学抽象思维，注重数形结合的思想方法；

情感态度价值观：培养学生分析问题、归纳综合的能力，培养创新的能力。

学习重点：会求函数在某点处附近的平均变化率.

学***均变化率来刻画变量变化的快与慢

学习过程：

一、【创设情境导入新课】：介绍牛顿、莱布尼茨引出微积分，简单分析引言：微积分的创立主要与自然科学中四类问题处理有关，导数是微积分的核心概念之一引出全章课题，介绍章节内容引出《变化率问题》。

二、问题导学

问题

气球膨胀率

吹气球活动：随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这4种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)r3

33V如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3

4气球的半径随体积变化的函数统计表：

v r

（1）形:建立坐标系、描点画出函数图像

（2）数: ①当空气容量V从0增加到1时:

气球的体积（自变量）增加了：1-0=1（L）

气球的半径（函数值）增加了：

r(1)r(0)0.62(dm)L

r(1)-r(0)0.62气球的平均（膨胀率）为：

1-010.62(dmL)

1 0 0 1 0.62 2 0.78 3 0.89 4 0.98

气球均胀

的平②当空气容量V从1增加到2时,气球的膨胀率

①当空气容量V从0增加到1时, 气球的膨胀率

④当空气容量V从3增加到4时,气球的膨胀率

随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小。

（膨三、抽象概括

1.上述问题中的变化率可用式子③当空气容量V从2增加到3时,气球的膨胀率



当空气容量v从v1增加到v2时,气球的膨胀率

。

f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. x2x1可用xx代替x,同样fyf(x)f(x)) 率）122.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”

21为：

四、合作交流:

则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1xy实质表示什么? xyf(x2)f(x1)(3).代数意义表示什么?

(4) . 观察函数f(x)的图象平均变化率的几何意义? xx2x1(1) .式子中Δy、Δx的取值情况？

(2). 五、巩固应用

（一）例题：

例1.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10. 求（1）0t0.5这段时间里的平均速度

（2）0t65这段时间里的平均速度

49例2 求函数f (x) = x2

+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率，并求当x0=1，Δx=0.1时平均变化率的值。

（二）练习与作业

例2 变式：求函数f (x) = x2

+1在下列区间的平均变化率。

（1）[1, 3]；

（2）[1, 2];

（3）[1, 1.1]; （4）[1, 1.01];

（5）[1, 1.001];

（6）[0.999, 1]; （7）[0.99, 1];

（8）[0.9, 1]. 六、小结

平均变化率

1.概念

2.实质

3.代数意义

4.几何意义

5.计算步骤

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