3.4 生活中的优化问题举例教案公开课一等奖

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第60题

利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题

I．题源探究·黄金母题

【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边精彩解读

【试题来源】人教版A版必修5 P100T2．

各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

【母题评析】本题考查应用基本不等式求【解析】设两条直角边为a，b，根据基本不等式

最值．作为基础题，是历年来高考的常考点．

【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值．

abab，即ab250，当且仅当2ab50

时，等号成立，即最小值是250．

II．考场精彩·真题回放

【例2】【2017高考天津理12】若a,bR，ab0，

【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通a44b41则的最小值为___________．

ab【答案】4

【解析】常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．

a44b414a2b21114ab24ab4【难点中心】

abababab1．解答此类问题，关键在于灵活运用基本

（前一个等号成立条件是a22b2，后一个等号成立的条件是ab不等式实现和与积互化．如果在解题过程1，两个等号可以同时取得，则当且仅中，两次使用基本不等式，要注意两次使2用的条件是不是能同时成立．

222当a2时取等号）．

,b22422abab2aba,bR，ab2aba,bR，ab，【例3】【2017高考山东卷】若直线2xy222ab0,b0过点1,2，则2ab的最小b1aa可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，ab22值为

．

最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条【答案】8

【解析】由直线xy1a0,b0过点1,2可ab3．活用“1”，“以常驭变”运用均值不等欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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得121ab，式求解有关的最值问题．

b4ab4a122ab2ab4428ababab．

【例4】【2017高考江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是

．

【答案】30 【4xx解析】总费用60090064(x)42900240，当且仅当xx900，即x30时等号成立．

xIII．理论基础·解题原理

不等式式有：

ababa0,b0称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等22ababa2b2abab2aba0,b0,ababa,b0a,bR,ab222．

2x1ab2x0,2ab0等．

xbaIV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难．

【技能方法】

（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提．“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀．

22（2）必须掌握的三个不等式：①a，bR，则ab2ab（当且仅当ab时取等号）；欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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(ab)2②a，bR，则ab（当且仅当ab时取等号）；③a，bR，则222abab（当且仅当ab时取等号）．

2【易错指导】

（1）注意不等式成立的条件是a0,b0，若a0,b0，应先转化为a0,b0，再运用基本不等式求解．

（2）“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件．

V．举一反三·触类旁通

考向1

利用基本不等式求最值

x24【例1】【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟】函数fx的最x小值为（

）

A．3

B．4

C．6

D．8 【答案】B x244【解析】fxx244，故选B．

xx22【例2】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设a，bR，a2b6，则a2b的最小值为

A．23

B．（

）

【答案】A 573

C．33

D．332

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【例3】【2018辽宁辽南协作校高三下学期一模】若lgalgb0且ab，则值范围为（

）

21的取abA．22,

B．22,

C．22,33,

D．22,33,

【答案】A 【解析】∵lgalgb0且ab，∴lgab0，即ab1．∴2121的取值，当且仅当时取等号．∴a2b2ab2ba22ab22abab范围为22,，故选A．

【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：

（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；

（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．

【例4】【江西上饶市高三下学期二模】已知函数fx满足11，若对任意正数a,b都有exfx2fxx,f222e111ab，则x的取值范围是

（

）

f3x2x2222ae64b8A．,1

B．,0

C．0,1

D．1,

【答案】D 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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所以当x0,时，hx0，hx单调递增，当x,时，hx0，hx22单调递减．

所以hxmax1112e112112112he2ge2efe0

22222e22211所以fx0，所以fx在0,上单调递减．

因为11ab11ab2ab1，，当且仅当22222ae64b8ae8b88abe822ea282e,b282时取等号，所以e1111f3x2xf3x2x3x2x10．令ux3x2x1，u(x)2222是一个增函数，ux321u1，所以x>1．故选D．

xx【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题．构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰．

【跟踪练习】

1．【2018吉林四平市高三质量检测】设x0,y0，若xlg2,lg2,ylg2成等差数列，则19的最小值为(

) xyA．8

B．9

C．12

D．16 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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【答案】D

2．【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数列an21的最小值等于（

）

m2n133A．1

B．

C．

D．

2422的公比为3，若aman9a2，则【答案】C 2【解析】∵正项等比数列an的公比为3，且aman9a2，∴22，∴mn6，∴a23m2a23n2a23mn49a21m2n1152113mn22，当且仅当m2n462nm262m2n64时取等号，故选C．

【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：

（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．

（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．

3．【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第三套模拟】设m、nR，已知mloga2，，则nlogb2，且ab22（a1，b1）mn的最大值是（

）

mnA．1

B．2

C．【答案】A 【解析】12

D．

22a1,b1,mloga2,nlogb2,m0,n0，mn11

mnmn欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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2211ab

log2alog2blog2ablog21，当且仅log222loga2logb2当ab222时取等号，故选A．

考向2

均值不等式应用题

【例5】【2018广东江门市高二上学期调研测试（一）】一种设备的单价为a元，设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元（a、b是常数）．用t表示设备使用的年数，记设备年平均费用为y，即y

(设备单价+设备维修和消耗费用）设备使用的年数．

（Ⅰ）求y关于t的函数关系式；

（Ⅱ）当a112500，b1000时，求这种设备的最佳更新年限．

【答案】（Ⅰ）ybbat；（Ⅱ）15年．

22t

试题解析：（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列，

因此t年维修消耗费用为b2b3btbbtbt2，于是btbtabba2yt．

t22t（Ⅱ）∵t0,a0,b0，所以baabt2，a112500，b1000，2t2，t15时y50021125001000ba1000112500t155000，当且仅当t，即2t2t2，年平均消耗费用取得最小值，所以设备的最佳更新年限是15年．

【名师点睛】（I）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．

（II）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

【例6】【2018河南中原名校（即豫南九校）高二上学期第二次联考】要制作一个体积为9m，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？

【答案】长为3，容器的总造价最低为250元．

则y9102x仅当x9999，因为x2x6（当且1510019010xxx3x9即x3时取“=”），所以

ymin250．

x答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元．

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

【例7】【2018福建漳州高一下学期期末考】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0．5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．

（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；

（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．

8000250

（Ⅱ）博物馆支付总费用的最小值为3750元

x8000【解析】【试题分析】（1）先依据题设分别求出支付的保险费用y1和保护液体的费x【答案】（Ⅰ）y500x用500x0.5，再求出运总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式80008000250，（

x0.5）；（2）依据题设条件运用基本不等式求出500xxx8000250的最小值：

的最小值，从而确定函数y500xxk解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用y1，把x2，y14000代入，得k8000，则xy500x欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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有支付的保险费用y1y500x80000.5xxx8000（x0.5），故总费用x800050（0

x0.5）．

250（Ⅱ）因为y500x80008000250

2500x2503750，当且仅当xx500x8000且x0.5，即x4立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最x小值为3750元．

【名师点睛】求解本题的第一问时，先依据题设条件运用待定系数法求出支付的保险费用8000，再求出保护液体的费用500x0.5，进而求出运总费用y与保护罩容积x之x8000250，间的函数关系式y500x（

x0.5）；求解第二问时，重点是依据题设条x80008000250的件运用基本不等式先求出500x的最小值，从而确定函数y500xxxy1最小值及取得最小值时x的值，从而使得问题获解．

【跟踪练习】

1．【2018山东德州市高三年级上学期期中考试】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

【答案】（1）（0，1）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米．

2

2x12(x1)2DNDC∵，∴|AM|=，∴S矩形AMPN=|AN|•|AM|=．

ANAMxx欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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2(x1)21由S矩形AMPN＞9得＞9，又x＞0得2x2-5x+2＞0，解得0＜x＜或x＞2，

2x即DN的长的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．

22(x1)244（2）因为x＞0，所以矩形花坛的面积为：y==2x++4≥4+4=8，当且仅当2x=，xxx即x=1时，等号成立．

答：矩形花坛的面积最小为8平方米．

【名师点睛】本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用．

2．某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=(13)百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足AOC705C 03x6)百米，OCy百米．

,AO3B0,．设BOAOC4x(5B A

（I）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；

（II）当x取何值时？整个中转站的占地面积SOAC最小，并求出其面积的最小值．

【答案】（1）yO 2x（2）：当x400米时，整个中转站的占地面积SOAC最(3x6)；x2小，最小面积是(223)104平方米．

【解析】

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x24(x2)4，正好这个表达式分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形x2x2可以用基本不等式来求得最小值．

试题解析：（I）结合图形可知，SBOCSAOBSAOC．于是，1112xx(13)sin300y(13)sin450xysin750，解得y(3x6)．

222x2（II）由（I）知，y2x(3x6)，

x2因此，SAOC当x2113x21340xysin75[(x2)4]223(当且仅24x24x24，即x4时，等号成立)．

x2答：当x400米时，整个中转站的占地面积SOAC最小，最小面积是(223)104平方米．12分

考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式．

3．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为16x80x2．只有当河流中碱的浓度不低于才能对污染产生有效yx2．．．1时，2x44x的抑制作用．

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．

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【答案】（1）517x3（2）当x22时，y有最大值1482．

2；

综上，得517x3-------------5分

2即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为3517117----6分

2216x8单调递增-------------8分

x2（2）当0x2时，y当2x4时，y=4-x单调递减-------------9分

所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，

即2x4时，y4x[故当且仅当2x1616(x2)814(2x)-------------12分

x2x16,x22时，y有最大值1482．-------------------14分

x考向3

与均值不等式有关的交汇题

【例8】【2018四川成都龙泉驿区二中高三3月市“二诊”】已知函数fxlogax41（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，若直线的最小值为（

）[ A．16

B．8

C．12

D．14 【答案】B xy2（m,n0）也经过点A，则3m+nmn欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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【名师点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长．在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．

【例9】【2018辽宁沈阳市东北育才学校高三三模】设A、B分别为双曲线x2y21(a0,b0)的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，设直线a2b2AP、BP的斜率分别为m、n，则的离心率为（

）

A．5

B．6

C．【答案】C 4ba12lnm2lnn取得最小值时，双曲线ab2mn56

D．

22

设函数fx2lnx1214x-11(x0)，fx2，所以f(x)在区间0,单调22xx2x2x4b2111递减，在区间,单调递增．fxminf，即mn2，又均值不等式等a4445b号成立条件当且仅当a4b，所以e1．选C．

a2222欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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【名师点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点Ax1,y1,Bx1,y1，另一动点Px0,y0，则kPAkPBb22；（2）椭圆上任意关于原点对称的两点Ax1,y1,Bx1,y1，ab22．

a另一动点Px0,y0，则kPAkPB【例10】【2018河北衡水金卷调研卷（五）】已知抛物线x24y的焦点为F，双曲线x2y221(a0,b0)的右焦点为F1c,0，过点F,F1的直线与抛物线在第一象限的交2ab点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y3x垂直，则ab的最大值为（

）

A．33

B．

C．3

D．2 22【答案】B 【解析】由题可知抛物线x24y的焦点为F0,1,kFF1101，过F,F1的直线方0cc1yx1411

x2x4

程为y1x0yx1，联立方程组{ccccx24y221c2221c2cx4x4c0，x，由题可知，x1，cc2x2221c2（舍去），又由xc21221c14yy'x，因此k

222c11c211c2，又由题可知31c3，即得a2b23，又

cca2b22ab32abab故选B．

336，当且仅当ab时，取等号，即abmax，222【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．

【例11】【2018湖南省三湘名校教育联盟高三三联考】随机变量X服从正态分布XN10,2,PX12m，P8X10n，则21的最小值为（

）

mnA．342

B．622

C．822

D．642

【答案】D

【名师点睛】本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

【例12】【2018上海杨浦区高三下学期质量调研（二模）】若an为等比数列，an0，且a2018212，则的最小值为

．

2a2017a2019【答案】4 【解析】an为等比数列，an0，公比q0，a20171a2019a20181q，

2q，qa2017a2018a2019qa2018，121222，2q244，当且仅qa2018qa2017a2019q当2q2212，即q2时取等号，的最小值为4．

a2017a2019q【跟踪练习】

1．【2018云南保山市高三第二次市级统测】在ABC中，若3CAABCBAB2|AB|2，则tanAA．5

B．25

C．6

D．1的最小值为（

）

tanB6

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【答案】B

【名师点睛】当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；

在三角形中要注重利用条件ABC进行化简运算；

用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”．

x2ax1恒成立，若p为真命题，则实数a2．【2018衡水金卷（二）】已知p:x0,2x21的最小值为

A．2

B．3

C．4

D．5

（

）

【答案】A x2axx21121,axaxx1【解析】p:x0,化为，即有，又x0,22x1xxx0时，yx选：A．

3．【2018安徽淮南市高三一模】已知G是ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M,N，且AMxAB，ANyAC，x,y0，则3xy的最小值是(

) A．1的最小值为2，故由存在性的意义知a2．故实数a的最小值为2．故x875423

B．

C．

D．32233【答案】D 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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3y1n，（m2，n2）；令3x1m，

故mn1，x故12121m1n，y；

33，当且仅当3xy1m1n4n41423m2mn3333333m3,n3等号成立

3故选D．

x2y21上，4．已知点A在椭圆点P满足AP1OA（R）（O是坐标原点），259且OA•OP72，则线段OP在x轴上的设影长度的最大值为__________．

【答案】15 【解析】∵AP1OA，∴OPOA，故O，A，P三点共线．

x2y2·OAOP72．设点A坐标为(x，y)，则1．

·72，∴OAOP∵OAOP259令OA与x轴正方向的夹角为θ，则线段OP在x轴上的投影长度为

OPcosOPxOA72OAOAx72x|OA|272xx2y272169x25x169721515，当且仅当x，即x时等号成425x1692x25x立．∴线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．

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