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华章文化

第二十四章

圆

24．1

圆的有关性质

24．1.1

圆

新教案

01

教学目标

1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．

2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．

02

预习反馈

阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．

1．如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2．圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．

【点拨】

确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

5．到定点O的距离为5的点的集合是以O为圆心，5为半径的圆．

03

名校讲坛

例1

(教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O

为圆心的同一个圆上．

【思路点拨】

要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等．

【解答】

证明：∵四边形ABCD为矩形，

11∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD. 22∴OA＝OC＝OB＝OD. ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上(如图)．

例2

(教材P80例1的变式)△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上．

【解答】

证明：如图，取AB的中点O，连接OC. www.sjhzhb.com

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新教案

∵在△ABC中，∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

1∴OC＝OA＝OB＝AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．

2∴A，B，C三点在同一个圆上．

【跟踪训练1】

(例1的变式题)(1)在图中，画出⊙O的两条直径；

(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．

解：(1)作图略．

(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．

【思考】

由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？

例3

已知⊙O的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0

【点拨】

直径是圆中最长的弦．

例4

在⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形．

【点拨】

与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．

【跟踪训练2】

如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？

解：图略.6条．

04

巩固训练

1．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．

【点拨】

这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．

2．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数为2．

3．(《名校课堂》24.1.1习题)点P到⊙O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则⊙O的半径是1或9cm. 【点拨】

这里分点在圆外和点在圆内两种情况．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点．若AC＝10 cm，则OD的长为5__cm．

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新教案

【点拨】

圆心O是直径AB的中点．

5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，则∠A的度数为24°．

【点拨】

连接OB构造三角形，从而得出角的关系．

05

课堂小结

1．这节课你学了哪些知识？

2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？

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24．1.2

垂直于弦的直径

新教案

01

教学目标

1．理解圆的对称性．

2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．

3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．

02

预习反馈

阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．

1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即

如图，∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，

︵︵︵︵∴AE＝BE；AC＝BC；AD＝BD．

3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即

如图，∵CD是⊙O的直径，且AE＝BE(AB不是直径)，

︵︵︵︵∴CD⊥AB；AC＝BC；AD＝BD．

03

名校讲坛

知识点1

垂径定理

例1

(教材补充例题)已知⊙O的半径为5 cm. (1)若圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长为8__cm；

(2)若弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为3__cm．

【点拨】

(1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．

例2

(例1的变式题)已知：如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.

【解答】

证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE. ∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. 【点拨】

过圆心作垂径是圆中常用辅助线．

【跟踪训练1】

若⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3__cm．

【跟踪训练2】

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．

解：连接OC. ∵AE＝9，BE＝1，∴半径OC＝5，OE＝4. ∵弦CD⊥AB，

∴在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝3. 又∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CD＝2CE＝6. 【跟踪训练3】

⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最www.sjhzhb.com

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新教案

大值为5．

【点拨】

当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．

知识点2

垂径定理的实际应用

例3

(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．

【思路点拨】

解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．

︵︵【解答】

如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. ︵经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，︵C是AB的中点，CD就是拱高．

由题设可知AB＝37 cm，CD＝7.23 cm，

11所以AD＝AB＝×37＝18.5(cm)，

22OD＝OC－CD＝R－7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2＝AD2＋OD2，

即R2＝18.52＋(R－7.23)2. 解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m. 【点拨】

圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．

【跟踪训练4】

(教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．

04

巩固训练

1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是53__cm．

【点拨】

这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．

132．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__cm．

4︵3．如图，AB为⊙O的直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝8．

4．(《名校课堂》24.1.2习题变式)⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为8，最长www.sjhzhb.com

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新教案

弦的长为10．

【点拨】

过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．

5．(《名校课堂》24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.

【点拨】

过圆心作垂径．

证明：过点O作OE⊥AB于点E. 则AE＝BE，CE＝DE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. 6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．

【点拨】

分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．

解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F. 又∵AB∥CD，∴OF⊥CD. ①当AB，CD在点O两侧时，如图1. 连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm. 由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm. ∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；

图1

②当AB，CD在点O同侧时，如图2. 连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm. 图2 由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm. ∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm. 综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.

05

课堂小结

1．垂径定理及其推论．

2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．

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24．1.3

弧、弦、圆心角

新教案

01

教学目标

1．通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．

2．运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．

02

预习反馈

阅读教材P83～84内容，回答下列问题．

1．顶点在圆心的角叫做圆心角．

2．如图所示，下列各角是圆心角的是(B)

A．∠ABC

B．∠AOB

C．∠OAB

D．∠OBC 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

4．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦．

︵︵(1)如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠COD，AB＝CD；

︵︵(2)如果AB＝CD，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；

︵︵(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，AB＝CD．

5．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)

(1)△ACO≌△ABO；

(2)AD垂直平分BC；

︵︵(3)AC＝AB．(答案不唯一)

03

名校讲坛

︵︵例1

(教材P84例3)如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

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︵︵【解答】

证明：∵AB＝AC，

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．

又∵∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

新教案

︵︵【跟踪训练1】

如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．

︵︵解：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC. 又∵∠ACB＝75°，∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝30°. 例2

(教材P84例3变式题)如图．

︵︵(1)如果AD＝BC，求证：AB＝CD；

︵︵(2)如果AD＝BC，求证：DC＝AB.

︵︵【解答】

证明：(1)∵AD＝BC，

︵︵︵︵︵︵∴AD＋AC＝BC＋AC，即DC＝AB. ∴AB＝CD. ︵︵(2)∵AD＝BC，∴AD＝BC. ︵︵︵︵︵︵∴AD＋AC＝BC＋AC，即DC＝AB.

例3

(教材补充例题)如图，AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆︵︵交于C，D点．求证：AC＝BD. 【思路点拨】

连接OC，OD，构造全等三角形．

【解答】

证明：连接OC，OD. ∵M，N分别为AO，BO的中点，

11∴OM＝OA，ON＝OB. 22www.sjhzhb.com

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又∵OA＝OB，∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°. OM＝ON，在Rt△CMO和Rt△DNO中，

OC＝OD，

新教案

∴Rt△CMO≌Rt△DNO(HL)．

∴∠AOC＝∠BOD. ︵︵∴AC＝BD.

【跟踪训练2】

已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？

【点拨】

(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件；(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．

解：∠AMN＝∠CNM.理由如下：

连接OB，OD. ∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴BM＝AM，DN＝CN，且OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OMB＝∠OND＝90°. 又∵AB＝CD，∴BM＝DN. BM＝DN，在Rt△OBM和Rt△ODN中，

OB＝OD，∴Rt△OBM≌Rt△ODN(HL)．

∴OM＝ON.∴∠OMN＝∠ONM. ∴90°－∠OMN＝90°－∠ONM，即∠AMN＝∠CNM.

04

巩固训练

︵︵︵1．(《名校课堂》24.1.3习题变式)如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为75°．

2．(《名校课堂》24.1.3习题变式)如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，并且它们的延长线分别交⊙O于点A，B. (1)试判断△OEF的形状，并说明理由；

︵︵(2)求证：AC＝BD.

【点拨】

(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．

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解：(1)△OEF为等腰三角形．理由：

过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG. ∵CE＝DF，

∴CG－CE＝DG－DF，即EG＝FG. ∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的中垂线．

∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．

(2)证明：连接AC，BD. 由(1)知OE＝OF，

又∵OA＝OB，

∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE. ∵∠CEA＝∠OEF，∠BFD＝∠OFE，

∴∠CEA＝∠DFB. AE＝BF，在△CEA和△DFB中，∠CEA＝∠DFB，

CE＝DF，∴△CEA≌△DFB(SAS)．∴AC＝BD. ︵︵∴AC＝BD.

新教案

05

课堂小结

弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．

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24．1.4

圆周角

第1课时

圆周角定理及其推论

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01

教学目标

1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．

2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．

02

预习反馈

阅读教材P85～87，完成下列问题．

1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

3．已知，如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠AOB＝90°，则∠ACB的度数为45°．

4．圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等．

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为65°．

6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．

03

名校讲坛

知识点1

圆周角定理

例1

(教材补充例题)如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，求∠C的度数．

【解答】

∵OA＝OB，∠ABO＝25°，

∴∠BAO＝∠ABO＝25°. ∴∠AOB＝130°. 1∴∠C＝∠AOB＝65°. 2【跟踪训练1】

如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC大小为60°．

知识点2

圆周角定理的推论

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新教案

例2

(教材P87例4)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

【思路点拨】

根据AB是直径的条件，得出△ABC，△ABD都是直角三角形，由于Rt△ABC中AB，AC已知，根据勾股定理可求出BC.进一步，因为CD平分∠ACB，根据圆周角定理和弧、弦、圆心角之间的关系，可知AD＝BD，这样，在Rt△ABD中可求出AD和BD的长．

【解答】

连接OD. ∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，

BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD. ∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD. 又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，

∴AD＝BD＝

例3

(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝1．

22AB＝×10＝52(cm)．

22

【归纳总结】

1.圆周角定理及其推论中的转化思想：

(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；

(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．

2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：

当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．

3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：

(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；

(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；

(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．

【跟踪训练2】

如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．

【点拨】

连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形．

【跟踪训练3】

如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠B＝58°．

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04

巩固训练

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︵1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BC上一点，则圆周角∠BAC的度数为50°．

2．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝10__cm．

【点拨】

利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．

︵3．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB的中点，则∠CAB的度数为65°．

4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.

︵︵证明：∵∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB. 同理∠BOC＝2∠BAC. ∵∠AOB＝2∠BOC，

∴∠ACB＝2∠BAC. 【点拨】

看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．

05

课堂小结

圆周角的定义、定理及推论．

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第2课时

圆内接四边形

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01

教学目标

1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．

2．理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．

02

预习反馈

阅读教材P87～88，完成下列问题．

1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．

2．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠A＝50°，∠BCD＝130°．

03

名校讲坛

︵例

(《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？

【解答】

连接BC. ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°. 又∵∠BAC＝32°，

∴∠B＝90°－32°＝58°. ∴∠D＝180°－∠B＝122°(圆内接四边形的对角互补)．

︵又∵D是AC的中点，

1∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝29°. 2【跟踪训练1】

已知圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠D的度数为90°．

【跟踪训练2】

(《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝50°．

04

巩固训练

1．(《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠BOD等于120°. www.sjhzhb.com

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新教案

2．如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．

3．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．

解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，

∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°. ∴∠A＝180°－∠C＝50°.

05

课堂小结

圆内接四边形的对角互补．

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24．2

点和圆、直线和圆的位置关系

24．2.1

点和圆的位置关系

新教案

01

教学目标

1．结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．

2．知道确定一个圆的条件；掌握三角形外接圆及三角形的外心的概念．

3．掌握反证法，并会应用于有关命题的证明．

02

预习反馈

阅读教材P92～95，完成下列问题．

1．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：点在圆外⇔d＞r，如图中的点C；点在圆上⇔d＝r，如图中的点B；点在圆内⇔d＜r，如图中的点A.如：若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在圆内．

2．经过一个已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A，B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

3．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部．任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形有无数个．

03

名校讲坛

例1

(《名校课堂》24.2.1习题)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径作圆，判断点B，C与⊙P的位置关系．

【解答】

∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，

∴BP＝6，AP＝2. 根据勾股定理得r＝PD＝（35）2＋22＝7，

PC＝PB2＋BC2＝62＋（35）2＝9. ∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，

∴点B在⊙P内，点C在⊙P外．

【方法归纳】

根据勾股定理求出点到圆心的距离d与半径r比较．

【跟踪训练1】

(例1变式题)如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.

(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系怎样？

(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

【解答】

(1)∵AB＝3 cm＜r，AC＝AB2＋BC2＝5 cm＞r，AD＝4 cm＝r，

∴点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上．

(2)∵AB＜AD＜AC，且B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，

∴3 cm

(2)问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外，是指哪个点在圆外？

例2

(教材P95练习3)如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？

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新教案

【解答】

因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点O就是圆心．

【跟踪训练2】

(《名校课堂》24.2.1习题)如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．

例3

(《名校课堂》24.2.1习题)用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°. 【解答】

证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°. 【方法归纳】

用反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

③由矛盾断定假设不成立，从而得到原命题成立．

【跟踪训练3】

已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．

04

巩固训练

1．用反证法证明命题“△ABC中，至少有两个锐角”时，第一步假设为假设△ABC中，只有一个锐角．

2．已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O与点D的距离OD＝3 cm，过点D且垂直于OD的直线l上有三点A，B，C，且AD＝4 cm，BD>4 cm，CD<4 cm.则点A在⊙O上，点B在⊙O外，点C在⊙O内．

3．已知线段AB＝4 cm，以3 cm长为半径可作2个圆使其经过A，B两点，其圆心在线段AB的中垂线上，圆心与点A的距离为3cm. 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作⊙C. (1)点A，B与⊙C有何位置关系？为什么？

(2)若将⊙C的半径改为2 cm，其他条件不变，则结果又如何呢？若将⊙C的半径改为4 cm呢？

解：(1)由条件及勾股定理得AC＝AB2－BC2＝52－42＝3(cm)．

∵AC＝3 cm＝r，

∴点A在⊙C上．

∵BC＝4 cm>r，

∴点B在⊙C外．

(2)当⊙C的半径为2 cm时，点A，B都在⊙C外；

当⊙C的半径为4 cm时，点B在⊙C上，点A在⊙C内．

05

课堂小结

1．点与圆的三种位置关系．

2．三角形外接圆及三角形的外心的概念．

3．反证法．

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24．2.2

直线和圆的位置关系

第1课时

直线和圆的位置关系

新教案

01

教学目标

1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．

2．理解记忆割线、切线、切点等概念．

3．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．

02

预习反馈

阅读教材P95～96，完成下列知识探究．

1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．

4．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．

03

名校讲坛

例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．

(1)r＝1.5 cm；(2)r＝3 cm；(3)r＝2 cm. 【解答】

过点C作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB＝4 cm，BC＝2 cm，∴AC＝23 cm. 11又∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，

22BC·AC∴CD＝＝3 cm. AB(1)r＝1.5 cm时，相离；

(2)r＝3 cm时，相切；

(3)r＝2 cm时，相交．

【跟踪训练1】

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆．

12①当r满足0

512②当r满足r＝__cm时，⊙C与直线AB相切；

512③当r满足r>__cm时，⊙C与直线AB相交．

5【跟踪训练2】

已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交．直线a与⊙O的公共点个数是2．

例2

已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．

【思路点拨】

这里P到O的距离等于圆的半径，而不是点O到直线l的距离等于圆的半径，因此要分情况讨论．

【解答】

相交或相切．

【跟踪训练2】

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？

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新教案

【点拨】

分相切和相交两类讨论．

解：r＝2.4或3

04

巩固训练

1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C) A．2.5

B．3

C．5

D．10 2．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P与OB的位置关系是(B) A．相切

B．相离

C．相交

D．相离或相切

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C) A．相交

B．相离

C．相切

D．不确定

4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？

(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm. 解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．

(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；

(2)r＝4 cm时，d

(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．

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第2课时

切线的判定和性质

新教案

01

教学目标

1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．

2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．

3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．

02

预习反馈

阅读教材P97～98，完成下列问题．

1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．

3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．

03

名校讲坛

例

(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．

【思路点拨】

根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE＝OD.

【解答】

证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵⊙O与AB相切于点D，

∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO是∠BAC的平分线．

∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．

这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．

【方法归纳】

在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．

︵【跟踪训练1】

(《名校课堂》24.2.2第2课时习题)如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：直线CD与⊙O相切，理由：

连接OC. ︵︵︵∵C为BE的中点，∴BC＝CE. ∴∠DAC＝∠BAC. ∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD. www.sjhzhb.com

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新教案

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. 又∵OC为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

【跟踪训练2】

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．

解：相切．

证明：连接OP，BP，则OP＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB. ∵AB为直径，

∴BP⊥PC. 在Rt△BCP中，E为斜边中点，

1∴PE＝BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB. 2∴∠OBP＋∠EBP＝∠OPB＋∠EPB，

即∠OBE＝∠OPE. ∵BE为切线，∴AB⊥BC. ∴OP⊥PE. 又∵OP为⊙O的半径，

∴PE是⊙O的切线．

04

巩固训练

1．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(B) A．相离

B．相切

C．相交

D．不能确定

2．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60°时，AC才能成为⊙O的切线．

3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C.若∠A＝25°，则∠D＝40°．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.求证：直线DF与⊙O相切．

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新教案

证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C. ∴∠ODC＝∠B.∴OD∥AB. ∵DF⊥AB，∴OD⊥DF. 又∵点D在⊙O上，

∴直线DF与⊙O相切．

05

课堂小结

1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；

2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．

①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；

②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．

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第3课时

切线长定理

新教案

01

教学目标

1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．

2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．

02

预习反馈

阅读教材P99～100，完成下列知识探究．

1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．

3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．

4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．

03

名校讲坛

例

(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．

【思路点拨】

根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，设AE＝x，用含x的代数式表示出BD，CD，根据BC＝14列出方程即可．

【解答】

设AF＝x，则AE＝x，

CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x. 由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4. 因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.

【跟踪训练】

(《名校课堂》24.2.2第3课时习题)如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)求证：四边形ODCE是正方形；

(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.

解：(1)证明：∵BC，AC分别与⊙O相切于D，E，

∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°.∴四边形ODCE为矩形．

又∵OE＝OD，∴矩形ODCE是正方形．

(2)由(1)得CD＝CE＝r，

∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，

a＋b－c解得r＝. 2www.sjhzhb.com

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新教案

04

巩固训练

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2．

2．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°．

3．如图，AB，AC与⊙O相切于B，C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC＝65°．

4．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心．若∠BOC＝140°，则∠BIC＝125°．

5．如图，△ABC切⊙O于D，E，F三点，内切圆⊙O的半径为1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为(C)

A．12

B．14

C．10＋23

D．10＋3 提示：连接OE，OF，OC.

05

课堂小结

1．切线长定理．

2．三角形的内切圆及内心．

3．直角三角形内切圆半径公式．

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24．3

正多边形和圆

新教案

01

教学目标

1．了解正多边形的概念．

2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．

3．会进行有关圆与正多边形的计算．

4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．

5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

02

预习反馈

阅读教材P105～107，完成下列知识探究．

1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

360°3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于．

边数4．正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．

03

名校讲坛

例1

(教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．

【解答】

如图，连接OB，OC.

360°因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边6长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24(m)．

作OP⊥BC，垂足为P. BC4在Rt△OPC中，OC＝4 m，PC＝＝＝2(m)，

22利用勾股定理，可得边心距r＝42－22＝23(m)．

11亭子地基的面积S＝lr＝×24×23≈41.6(m2)．

22思考：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

【跟踪训练1】

(《名校课堂》24.3习题)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正三角形EFG的边长．

解：连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，

根据正方形的性质可得AB＝BC＝4. www.sjhzhb.com

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∵∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径．

新教案

在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋42＝42. ∴OE＝OF＝22.∵OM⊥EF，∴EM＝MF. ∵△EFG是正三角形，∴∠G＝60°.∴∠EOF＝2∠G＝120°. 1∴∠EOM＝∠EOF＝60°.∴∠OEM＝30°. 2在Rt△OME中，OE＝22，∠OEM＝30°，

∴OM＝2，

ME＝OE2－OM2＝（22）2－（2）2＝6. ∴EF＝2ME＝26，

即正三角形EFG的边长为26.

例2

已知⊙O，求作⊙O的内接正△ABC. 【解答】

作直径AM；再作OM的垂直平分线BC，交⊙O于B，C；连接AB，AC，则△ABC为⊙O的内接正三角形．

【跟踪训练2】

你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

【点拨】

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

04

巩固训练

1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B) A．4

B．5

C．6

D．7 2．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A．33

B．93

C．183

D．363 3．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A) 1A．2

B.3

C．1

D.

24．正三角形的边心距、半径和高的比为(D) A．1∶2∶3

B．1∶2∶3

C．1∶2∶3

D．1∶2∶3 5．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝3 cm，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB＝2cm，正六边形的面积S＝63cm2.

6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．

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360°∵∠BOC＝＝120°，∴∠BOH＝60°. 31在Rt△BOH中，BH＝BC＝3，∠OBH＝30°，

2

新教案

解：设这个正三角形的中心为O，连接OB，OC，作OH⊥BC于H. ∴OH＝3，OB＝23，

即该正三角形的中心角为120°，半径为23，边心距为3. 【点拨】

正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．

05

课堂小结

1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．

3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．

4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法. www.sjhzhb.com

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24.4

弧长和扇形面积

第1课时

弧长和扇形面积

新教案

01

教学目标) 1．了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．

nπRnπR212．探索n°的圆心角所对的弧长l＝、扇形面积S＝和S＝lR的计算公式，并应用这些公式解决相关问1803602题．

02

预习反馈

阅读教材P111～113，完成下列知识探究．

πRnπR1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是．

180180πR2nπR22．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是，n°的圆心角所对的扇形面积是．

36036013．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR．

2

03

名校讲坛

例1

(教材P111例1)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数)．

【思路点拨】

先根据弧长公式求出100°所对的弧长，再加上两边的长度．

︵【解答】

由弧长公式，得AB的长

l＝100×900×π＝500π≈1 570(mm)．

180因此所要求的展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970(mm)．

【跟踪训练1】

(《名校课堂》24.4第1课时习题)如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C) A．π cm

B．2π cm

C．3π cm

D．5π cm

【点拨】

重物上升的高度就是108°所对的弧长．

︵【跟踪训练2】

如图，点A，B，C在半径为9的⊙O上，AB的长为2π，则∠ACB的大小是20°．

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新教案

︵【点拨】

先根据弧长公式求出AB所对的圆心角，再根据圆周角定理求出∠ACB即可．

例2

(教材P112例2)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．

【思路点拨】

有水的部分实际上是一个弓形，弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得．

︵【解答】

如图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC. ∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，

∴OD＝OC－DC＝0.3 m．∴OD＝DC. 又∵AD⊥DC，

∴AD是线段OC的垂直平分线．

∴AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. 有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝120π11×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.63×0.3≈0.22(m2)．

36022

【跟踪训练3】

(《名校课堂》24.4第1课时习题)已知：如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求BD的长；

(2)求图中阴影部分的面积．

解：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，∠BDA＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，

∴AB＝10 cm. ∵∠ABD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形．

∴BD＝AD＝2AB＝52 cm. 2(2)连接DO，

∵∠ABD＝45°，∠BDA＝90°，

∴∠BAD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∵AB＝10 cm，

∴OB＝OD＝5 cm. 90π×521225π25∴S阴影＝S扇形OBD－S△OBD＝－×5＝(－)cm2. 360242

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04

巩固训练

新教案

441．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇＝π；已知扇形面积为π，圆心角为120°，则33这个扇形的半径R＝2．

2．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为8cm. 3．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴2影部分的面积等于π．

3

4．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 cm，其中水面高0.9 cm，则截面上有水部分的面积为0.91__cm2．(结果保留小数点后两位)

π5．如图，已知P，Q分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB是直径，则阴影部分的面积为．

6

【点拨】

连接OP，OQ，利用同底等高将△BPQ的面积转化成△OPQ的面积．

6．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD. (1)求证：AC＝BD；

3(2)若图中阴影部分的面积是π

cm2，OA＝2 cm，求OC的长．

4

解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠BOD. 又∵AO＝BO，CO＝DO，

∴△AOC≌△BOD(SAS)．

∴AC＝BD. 90π×2290π·OC23(2)根据题意，得S阴影＝－＝π，

3603604解得OC＝1. ∴OC的长为1 cm.

05

课堂小结

nπR1．n°的圆心角所对的弧长公式l＝. 180nπR22．n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝. 3603．阴影部分面积的求法．

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第2课时

圆锥的侧面积和全面积

新教案

01

教学目标

1．理解圆锥的相关概念，会计算圆锥的侧面积和全面积．

2．进一步培养学生综合运用相关知识解决问题的能力．

02

预习反馈

阅读教材P113～114，完成下列知识探究．

1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．

2．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长．

3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积S＝πrl；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝πr2＋πrl．

03

名校讲坛

例

(教材P114例3)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)?

【解答】

如图是一个蒙古包的示意图．

根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2，高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．

圆柱的底面圆的半径r＝12≈1.954(m)，

π侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2)．

圆锥的母线长l＝1.9542＋1.42≈2.404(m)，

侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)，

1圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76(m2)．

2因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m2)．

【跟踪训练1】

如图，用一个半径为30 cm，面积为300 π

cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为(B)

A．5 cm

B．10 cm

C．20 cm

D．5π

cm

【跟踪训练2】

(《名校课堂》24.4第2课时习题)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π) www.sjhzhb.com

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新教案

解：圆锥的母线长是：32＋42＝5. 1圆锥的侧面积是：×8π×5＝20π.

2圆柱的侧面积是：8π×4＝32π.

几何体的下底面面积是：π×42＝16π.

所以该几何体的全面积(即表面积)为：

20π＋32π＋16π＝68π.

04

巩固训练

1．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为(C) A．2.5

B．5

C．10

D．15 2．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(C) A．6 cm

B．9 cm

C．12 cm

D．18 cm

3．已知圆锥的底面半径长为3，母线长为4，则它的侧面积是(B) A．24π

B．12π

C．6π

D．12 4．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为7．

5．如图，一个圆锥的高为33 cm，侧面展开图是半圆．求：

(1)圆锥的母线长与底面半径之比；

(2)求圆锥的底面圆的半径．

解：(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l. l∵2πr＝πl，∴＝2. r(2)由图可知l2＝h2＋r2，h＝33 cm，

∴(2r)2＝(33)2＋r2，即4r2＝27＋r2.解得r＝3. ∴r＝3 cm.

05

课堂小结

1．圆锥的母线长等于扇形的半径；扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．

2．圆锥侧面展开图的有关计算．

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