3.1.3 导数的几何意义公开课教案

3.1.3

导数的几何意义

[学习目标]

1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.

[教学过程] 一．讲授概念

1.

导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 2.函数的导函数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim→Δxfx＋Δx－fx. Δx0二．讲授题型

题型一

已知过曲线上一点求切线方程

例1

若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值. 解

∵y＝x3＋3ax. x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax∴y′＝lim

ΔxΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx＝lim

ΔxΔx→0＝lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a. →Δx0设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，

结合已知条件，得

23x0＋3a＝3，a＝1－22，解得x＋3ax＝y＝3x＋1，

34x＝－2，3300000Δx

3∴a＝1－2. 2反思与感悟

一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝lim→fx0＋Δx－fx0Δy＝lim，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得Δx0ΔxΔx→0

切线方程. 112，处的切线方程. 跟踪训练1

求过曲线y＝在点2x11－2＋Δx2f2＋Δx－f2解

因为lim＝lim＝

ΔxΔxΔx→0Δx→0Δxlim→－11112，处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得＝－.所以这条曲线在点244022＋Δx11切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0. 24题型二

求过曲线外一点的切线方程

例2

已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程. [2x＋Δx2－7]－2x2－7Δy解

y′＝lim＝lim＝lim

(4x＋2Δx)＝4x. ΔxΔx→0ΔxΔx→0Δx→0由于点P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0). 将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，

2得9－(2x0－7)＝4x0(3－x0). 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 反思与感悟

若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 1跟踪训练2

求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程. x解

易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由

11－x0＋Δxx011y′|xx0x＝x0＝lim＝－2，得所求直线方程为y－y0＝－2(x－x0). Δxx0x0Δx→02由点(2,0)在直线上，得x0y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0. 题型三

求切点坐标

例3

在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角. fx＋Δx－fxx＋Δx2－x2解

f′(x)＝lim＝lim＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点. ΔxΔxΔx→0Δx→0(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点.

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

39139－，是满足条件的点. 所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P24324(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，

11所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，

2411－，是满足条件的点. 即P24反思与感悟

解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等. 跟踪训练3

已知抛物线y＝2x2＋1，求

(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解

设点的坐标为(x0，y0)，则

Δy2Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x2＝4x0＋2Δx. 0－1＝4x0·Δx＋2(Δx).∴ΔxΔy当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0. Δx(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，

即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8，

即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9). 三．课堂小结

1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim→fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. Δx2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

Δx0