3.1.3 导数的几何意义教案和课堂实录

学校：

一中

学科：数学

编写人：由召栋

审稿人：张林

3.1.3导数的几何意义教案

教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.

教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义

教学过程：

情景导入：如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.

则:MPx,MQy,ytan.x

y请问：是割线PQ的什么?x

展示目标：见学案

检查预习：见学案

合作探究：探究任务：导数的几何意义

问题1：当点Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线的变化趋是什么？

新知：当割线PPn无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线

割线的斜率是：kn

当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数f(x)在xx0处的导f(x0x)f(x0)数就是切线PT的斜率k，即klimf(x0)

x0x新知：

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(x0)limx0f(xx)f(x0)

x精讲精练：

例1

如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象.根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.

解:可用曲线

h(t)

在

t0 , t1 , t2

处的切线刻画曲线

h(t)

在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当

t = t0

时, 曲线

h(t)

在

t0

处的切线

l0

平行于

x 轴.故在

t = t0

附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当

t = t1

时, 曲线

h(t)

在

t1

处的切线

l1 的斜率

h’(t1) <0 .故在t = t1

附近曲线下降,即函数

h(t)

在

t = t1

附近单调递减.(3)当

t = t2

时, 曲线

h(t)

在

t2处的切线

l2 的斜率

h’(t2) <0 .故在

t = t2

附近曲线下降,即函数

h(t)

在t = t2

附近也单调递减.从图可以看出，直线

l1

的倾斜程度小于直线

l2

的倾斜程度，这说明

h(t) 曲线在

l1

附近比在

l2

附近下降得缓慢。

例2

如图,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

有效训练

11在点(,2)处的切线的斜率,并写出切线方程. x22练2. 求yx在点x1处的导数. 练1. 求双曲线y反思总结

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(x0)limx0f(xx)f(x0)

x当堂检测

1. 已知曲线y2x2上一点,则点A(2,8)处的切线斜率为（

）

A. 4

B. 16

C. 8

D. 2 2. 曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为（

）

A．y4x1

B．y4x7

C．y4x1

D．y4x7

[来源:Zxxk.Com]3. f(x)在xx0可导，则limf(x0h)f(x0)（

）

h0hA．与x0、h都有关

B．仅与x0有关而与h无关

C．仅与h有关而与x0无关

D．与x0、h都无关

4. 若函数f(x)在x0处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x0,f(x0))的切线方程为

5. 已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则

f(x0x)f(x0)=

limx0x其切线方程为

板书设计;略

作业布置：略