1.1.2 四种命题课堂实录

四种命题

【教学目标】

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；

2．会分析四种命题之间的相互关系；

3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．

4．提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．

【教学重点】

四种命题的相互关系．

【教学难点】

由原命题准确写出另外三种命题．

【教学过程】

一、复习命题和逆命题，引入四种命题

1．复习命题的概念．

2．复习逆命题的概念．并用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则P”表示逆命题结构．

3．练习一(在练习中强调要分清条件和结论，把原命题写成“若p则q”的形式) (1)命题“若a>b，则bb) (2) 把下列命题写成“若p则q”的形式，并说明命题①与命题②、③、④的条件和结论

之间分别有什么的关系？ ①

同位角相等，两直线平行；

②

两直线平行，同位角相等；

③

同位角不相等，两直线不平行；

④

两直线不平行，同位角不相等．

有如: 下列四个命题中，命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？ ①若AB，则sinAsinB；

②若sinAsinB，则AB；

③若AB，则sinAsinB；

④若sinAsinB，则AB．

二、讲授新课

（一）四种命题

1．逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命

题叫做互为逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．用“若p则q”

表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构．然后强调互为逆否中的“互”字．

2．否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，

这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．用

“若p则q”表示原命题结构，用“若¬p则¬q”表示否命题结构．然后强调互否中的“互”

字．又如： (1)命题“在二次函数yax2bxc中，若b24ac≥0，则该二次函数的

图像与x轴有公共点”的否命题为(在二次函数yax2bxc中，若b24ac<0，则该二

次函数的图像与x轴没有公共点．)(指出“≥”的否定是“<”．) (2)命题“对顶角相等”写成p则q的形式为(若两个角是对顶角，则这两个角相等．) 它的否命题为(不是对顶角的两个角不相等．) (3)“平行线相交”的否命题是“平行线不相交”吗?(不是．) 3．逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，

这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命

题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬q，¬p”表示逆否命题结构．然后强调互为逆否

中的“互”字．

又如： (1)命题“三角形的内角和等于180º”写成若p则q的形式为(若一个图形是三角

形，则它的内角和等于180º．)它的逆否命题为(内角和不等于180º的图形不是三角形．) (2)命题“正方形的四条边相等”的逆否命题为(四条边不相等的四边形不是正方形) (3)让学生举例，自己写一个原命题，然后写出其逆命题、否命题和逆否命题． 归纳：一般地，设“若p则q”为原命题，那么，

“若q则p”

就叫做原命题的逆命题；

“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；

“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．

（二）四种命题之间的关系

三、例题讲解

例1．

把命题“负数的平方是正数”改写成“若p则g”的形式，并写出它的逆命题、

否命题与逆否命题．

解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数．

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

例2．

分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：

（1）若m1，则x22xm0方程有实数根；

（2）奇函数的图象关于原点对称；

（3）若x2x20，则x1；

（4）x22x80的解集是空集．

归纳：一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．

即互为逆否命题的两个命题的真假相同．

例3．

证明：若整数的平方是偶数，则整数n是偶数．

n四、练习

1．填空：

(1)命题“末位是O的整数，可以被5整除”的逆命题是(可以被5整除的数末位是0) (2)命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是(与一

条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) (3)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是(圆的切线到圆

心的距离等于圆的半径) (4)把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p则q”的形式为

(若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧) 2．把命题“等式的两边都乘以同一个数，所得的结果仍是等式”写成“若p则q”的形式，

并写出它的逆否命题．

解：原命题为“在等式的两边分别乘以一个数，若这两个数是同一个数，则所得的结果

是等式”或“在一个式子两边都乘以同一个数，若这个式子是等式，则所得的结果是等式”

或“若一个式子是等式且两边都乘以同一个数，则所得的结果为等式”相应的逆否命题分别

为“若等式两边乘以一个数所得的结果不是等式，则这两个数不相同”或“若在一个式子两

边都乘以同一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式”或“若一个式子两边分别

乘以一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式或两边乘的不是同一个数”

五、课堂小结

1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般

大前提不变．

2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同

假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这

也是反证明法证明问题的理论依据．

六、思考

1．“负数的平方是正数”有几个条件?它的四种命题有其他的写法吗? 2．显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、

逆否命题都是真命题吗?对于一般命题，它的四种命题之间的真假关系又是如何的呢?