1.2.1 充分条件与必要条件教学实录

2．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

对点练习：

【2017天津，理4】设R，则“|ππ1|”是“sin”的

12122（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】|πππ11|0

sin

，但0,sin，不满足

1212622|ππ|，所以是充分不必要条件，选A. 1212【考点深度剖析】

高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．

【重点难点突破】

考点1四种命题的关系及真假判断

【1-1】给出命题：已知实数a,b满足ab1，则ab个命题中，真命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 【答案】B 1,它的逆命题、否命题、逆否命题三4

【1-2】命题“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（ ）

A．若xy是偶数，则与y不都是偶数

B．若xy是偶数，则与y都不是偶数

C．若xy不是偶数，则与y不都是偶数

D．若xy不是偶数，则与y都不是偶数

【答案】C

【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是若xy不是偶数，则与y不都是偶数．

【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a0，则函数f(x)log2x(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价．

【答案】②④

【领悟技法】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，学-也可以叙述为：

（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

【触类旁通】

π【变式一】命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(

)

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

【答案】D 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题．

3【变式二】下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若xy，则xy”的逆命题

B．命题“x1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x20，则x1”的逆否命题

【答案】A 考点2

集合间的基本关系

考点2

充分必要条件的判定

【2-1】【2017湖南娄底二模】“a1”是“直线axy30的倾斜角大于A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】设直线axy30的倾斜角为，则tana.若a1，得tan1，可知倾斜角大于”的（

）

4；

4得a1，或a0，即a1或a0，所以“a1”是“直线axy304的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A. 4由倾斜角大于2【2-2】【2017河北唐山二模】“x5x60”是“x2”的（

）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】由x25x60得{xx1或x6}，

“x25x60”是“x2”的必要不充分条件，故选B. 【2-3】设a,b为向量。则"abab"是a∥b的（

）

xx2{xx1或x6}，故A .充分不必要条件

B.必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.既不充分也必要条件

【答案】Ｃ

【解析】设向量a,b的夹角为，若ababcoscosab，cos1，则a∥b，若1，从而a∥b，则cos件．

ababab，"abab"是a∥b的充要条【2-4】ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“a2bcosC”是“ABC是等腰三角形”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A 【领悟技法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若

错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的充分而不必要条件；若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的必要而不充分条件；若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的充要条件；

若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的既不充分也不必要条件。

(2)等价法：即利用pq与qp；qp与pq；pq与qp的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q

的充分条件也不是q的必要条件

【触类旁通】

【变式一】【2017福建4月质检】已知,0,，则“sinsin的（

）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】当11”是“sin”332，

sinsin1,sinsin2,sin()01，所以后不能3推前，又sin()sincoscossinsinsin，所以前推后成立. 【变式二】以q为公比的等比数列{an}中，a10，则“a1a3”是“q1”的（ ）

A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

学- C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A 考点3

充分条件与必要条件的应用

【3-1】给定两个命题p，,若p是的必要而不充分条件，则p是q的

A.充分不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】由qp且pq可得pq且qp，所以p是q的充分不必要条件. 【3-2】已知集合Ax|12x8,xR，Bx|1xm1,xR，若xB成立2的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是

．

（2，）【答案】

【解析】Ax|1因为xB成立的一个充分不必要的条件2x8,xR{x|1＜x＜3}，2（2，）是xA，所以m1＞3，即m＞2．所以实数m的取值范围是

【3-3】函数fxlog2x,x0，有且只有一个零点的充分不必要条件是 x2a,x011

C.a1

22(

) A．a0

【答案】A B．0a

D．a0或a1

【解析】因为函数fx过点1,0，所以函数fx有且只有一个零点⇔函数y2xa,x0没有零点⇔函数y2x,x0与直线ya无公共点．由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系aa0Üaa0或a1，答案选A. 【领悟技法】

１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。

【触类旁通】

2【变式一】【2017河北衡水押题卷】已知命题p：“关于的方程x4xa0有实根”，若p为真命题的充分不必要条件为a3m1，则实数m的取值范围是（ ）

A. 1,

B. 1,

C. ,1

D. ,1

【答案】B 【解析】命题p：

a4，

p为a4，又p为真命题的充分不必要条件为a3m1，故3m14m1

【变式二】若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(

) A．(－∞，－1] B．(－1，＋∞) C．3，＋∞) D．(3，＋∞) 【答案】D

【易错试题常警惕】

11易错典例：已知不等式xm1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范32围是____________．

11易错分析，(1)“x”是“xm1”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看3211成必要条件；(2)从集合的角度看，若设Axx，Bxxm1，则23AÜB，学生容易看成AB. 11正确解析：由题意知：x是不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件．所以3211xx是xxm1的真子集．而xxm1x1mx1m，所2311m14143以有，解得m，所以m的取值范围是,. 23231m12温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．

【素养提升之思想方法篇】

转化与化归思想

转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等

x＋2≥0，【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的x－10≤0，必要而不充分条件，则m的取值范围为________．

【答案】

9，＋∞)

【解析】

命题p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，

{x|－－m≤x≤1＋m，m＞0}，

m＞0∴1－m≤－21＋m＞10

m＞0或1－m＜－21＋m≥10

，

∴m≥9，即m的取值范围是9，＋∞)．