8.2 消元——二元一次方程组的解法优秀教学设计

消元------二元一次方程

1．掌握用加减法解二元一次方程组．

2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．

重点

如何用加减法解二元一次方程组．

难点

如何运用加减法进行消元．

一、创设情境，引入新课

教师提出问题：

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．

教师总结最简便的方法：

抵消掉相同的部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．

二、例题讲解

教师板书：

2x＋3y＝－1，①解方程组

2x－5y＝7.②(由学生自主探究，并给出不同的解法) 解法一：

－1－3y由①得x＝2，代入方程②，消去x. 解法二：

把2x看作一个整体，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.

教师肯定两种解法都正确，并由学生比较两种方法的优劣．

由学生观察，得出结论：

解法二整体代入更简便，准确率更高．

教师启发：

有没有更简洁的解法呢？

问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(相等)

问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

(两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．) 解法三：

①－②得：8y＝－8，

所以y＝

－1. 代入①或②，

得x＝1. x＝1，所以原方程组的解为

y＝－1.

－2x＋3y＝－1，变式一：解方程组

2x－5y＝7.教师启发：

问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(互为相反数)

问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

(两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．) 教师板书：

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

教师提问：

能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？

(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．) 4x＋3y＝1，

①变式二：解方程组

2x－5y＝7.

②

学生观察：本例可以用加减消元法来做吗？

教师引导：

问题1：这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？

问题2：那么怎样使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

教师启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成

整数倍数关系．

因此：②×2，得4x－10y＝14.

③

由①－③即可消去x，从而使问题得解．

(教师追问：③－①可以吗？怎样更好？) －2x＋3y＝－1，

①变式三：解方程组

3x－5y＝7.

②教师提问：

本例题可以用加减消元法来做吗？

让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

分析得出解题方法：

解法1：通过①×3、②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

解法2：通过①×5、②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

教师追问：

怎样更好呢？

通过对比，学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．

解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个(或两个)方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型的方程组求解．

师生共析：

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．

2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步：如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元．

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑．

【例】

2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm2.由此考虑两种情况下的工作量．

解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.

根据两种工作方式中的相等关系，得方程组

2（2x＋5y）＝3.6，



5（3x＋2y）＝8.去括号，得

4x＋10y＝3.6，①



15x＋10y＝8.②②－①，得

11x＝4.4. 解这个方程，得

x＝0.4. 把x＝0.4代入①，得

y＝0.2. 因此，这个方程组的解是

x＝0.4，



y＝0.2.答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2. 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、巩固练习

1．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．

3x－2y＝15，

①(1)消元方法：________．

5x－4y＝23.

②7m－3n＝1，

①(2)消元方法：________．

2n＋3m＝－2.

②2．用加减法解下列方程组：

4x＋y＝2，3x＋2y＝－1，(1)

(2)

4x－3y＝－6；x＋4y＝－7；3x－2y＝5，x＋4y＝9，(3)

(4)

4x＋3y＝1；x－4y＝10.【答案】

1．(1)①×2－②消去y (2)①×2＋②×3消去n x＝0，x＝1，2．(1)

(2)

y＝2y＝－219x＝2，x＝1，(3)

(4)

1y＝－1y＝－8

四、课堂小结

本节课，我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减消元法，通过把方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”，请同学们回忆：加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

在学习加减法解题之前，学生已经知道了代入法解二元一次方程

组的核心是代入“消元”，以使二元方程转化为一元方程求解．本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生积极地参加到学习的过程中，不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高．