分式的基本性质优质教案设计

分式的基本性质教学设计

教学目标

1.能正确理解和运用分式的基本性质.

2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.

3.通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法.

重点

理解分式的基本性质,会进行分式的化简.

难点

灵活应用分式的基本性质将分式变形.

教师准备

预设学生学习过程中容易出错的地方.

学生准备

复习分数的基本性质.

教学过程

一.导入

【问题】

有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗? 这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗? [设计意图] 创设故事情境导入新课,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫. 二.学习新知

1.分式的基本性质

[过渡语] 下面我们来看看分式是否具有与分数类似的性质. 思路一

请看下面的问题. (1)填空: ==;==.

(2)你认为分式与相等吗?为什么?与呢?与同伴交流.

学生独立思考第(1)题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第(1)题解决第(2)题.

类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗? 学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质.

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

这一性质可以用式子表示为: =,=(m≠0).

思路二

[过渡语] 类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗? 请看下面的问题:

问题1

如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢? 问题2

如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢? 问题3

两图中长方形的宽相等吗? 问题4

通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到?变形的依据是什么? 问题5

若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢? 学生分析得出答案为.

教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢? 问题6

若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢? 追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢? 问题7

能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗? 学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善.

总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).

教师强调:a,b,m均为整式,m≠0.

引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.

[设计意图] 一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳

二、例题讲解

[过渡语] 利用分式的基本性质只是改变分式的形式,不改变分式的值.请看下面的例题. (教材例2)下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1)=(y≠0);

(2)=.

处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.

〔解析〕

(1)的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b

也要乘y,才能得到.(2)的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知,所以x≠0.

解:(1)因为y≠0,所以==.

(2)因为x≠0,所以==.

(教材例3)化简下列分式: (1);

(2).

处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简.

〔解析〕

(1)的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为ac.(2)对于分式,先对分子和分母进行因式分解,x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,发现分子分母有公因式x-1,由分式的基本性质可化简.

解:(1)==ac.

(2)==.

总结:像上面的例3,把一个分式的分子和分母的公因式约] 1.从已知的去,这种变形称为分式的约分.

[知识拓展两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知,是解决这类题的方法.

2.应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题: (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算; (2)所乘或除以的必须是同一个整式; (3)所乘或除以的整式的值应该不等于零.

三、做一做

化简下列分式: (1); (2). 〔解析〕

根据分式的基本性质进行化简. 解:(1)

==. (2)==. 四、议一议

在化简时,小颖和小明出现了分歧,小颖认为=,而小明认为==,你对他们两人的做法有何看法?与同伴交流. 解:在小明的化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.小明的做法正确. [知识拓展] 化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同时除以同一个整式,使分式的值不变,所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式或整式. [设计意图] 通过做一做和议一议,检查学生对分式的约分的掌握情况,对于错误及时指出并纠正. 五、想一想

(1)与有什么关系? (2),与-有什么关系? 解:(1)的分子分母都乘-1与相等. (2)同样的道理,与-相等.与-相等. 分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数. [设计意图] 通过想一想的设计,让学生掌握分式的符号法则.

六．课堂小结

1.分式的基本性质:=,=(m≠0). (1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据. (2)在运用分式的基本性质时,必须注意分式的分子分母同时乘或除以的是同一个整式,且不为0. (3)分式的基本性质的研究方法:从分数类比到分式,从特殊到一般. 2.分子和分母已没有公因式的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式. 3.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.