复习参考题教案板书设计

第二节空间几何体的表面积与体积

桂平市罗秀中学

姚郁梅

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

2．空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

[小题体验]

1．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) 表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

体积

V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r＋r′)l

A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

解析：选C

由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l1＝22＋232＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π．

22．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h1×2×3×3＝33．

＝2答案：33 3．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为________．

解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1．

111∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2×3×3＝1．

332答案：1

1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．

2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．

3．易混侧面积与表面积的概念．

[小题纠偏]

1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．

答案：2∶3

1∶1 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×21＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋162．

2答案：72＋162

考点一

空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

) A．1

C．4

B．2 D．8 解析：选B

如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的1半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr22＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2．

又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．

2．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

)

A．8＋22 B．11＋22 C．14＋22 D．15 解析：选B

由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．

直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋122，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋222．

3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为(

)

A．125

C．24

解析：选A

由三视图得，

这是一个正四棱台，

由条件知斜高h＝22＋12＝5，

B．242 D．123

侧面积S＝2＋4×5×4＝125．

2[谨记通法]

几何体的表面积的求法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第1题．

考点二

空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

12A．＋π

3312C．＋π

3612B．＋π

33D．1＋2π

6解析：选C

由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为2114π2312，从而该几何体的体积为×12×1＋××＝＋π．

23232362．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1A．

81C．

61B．

71D．

5解析：选D

由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为

111V1＝××1×1×1＝，

32615剩余部分的体积V2＝13－＝．

661V161所以＝＝．

V2556[由题悟法]

有关几何体体积的类型及解题策略

常见类型

球的体积问题

解题策略

直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径

根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解

将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解

常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需不规则几何体的体积问题

采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解

[即时应用]

1．(2016·西安质检)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(

) 锥体、柱体的体积问题

以三视图为载体的几何体体积问题

4A．

37C．

35B．

2D．3 解析：选A

根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V1114＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝．

23232．(2017·云南省统检)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图，则被削掉的那部分的体积为(

) 几何体＝V三棱柱

π＋2A．

35πC．－2

3解析：选B

由三视图可知，

剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，

1111π2其体积V＝××π×12×2＋××2×1×2＝＋，

323233π25π－2∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－3＋3＝3．

3．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．

B．5π－2

32D．2π－

3

解析：由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm，2 cm，4 cm．

几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm2)，

体积为2×2×4×2＝32(cm3)．

答案：72

32

考点三

与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．

常见的命题角度有：

(1)正四面体的内切球与四棱锥的外接球；

(2)直三棱柱的外接球；

(3)正方体(长方体)的内切、外接球．

[题点全练]

角度一：正四面体的内切球与四棱锥的外接球

S11．(2017·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝S2________．

32解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a＝3a2，其内切球半径42S13a211662πa为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝443126S2π2a663．

π答案：

角度二：直三棱柱的外接球

2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) 317A．

213C．

2B．210 D．310 63

π解析：选C

如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点151M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝

22252＋622

13＝．

2

角度三：正方体(长方体)的内切、外接球

3．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(

) A．6π

6πB．

3D．3π

3πC．

6解析：选C

平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝2，所以内切圆的半径r＝26×tan 30°＝，

2611所以S＝πr2＝π×＝π．

66[通法在握]

“切”“接”问题处理的注意事项

(1)“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

(2)“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

[演练冲关]

1．(2017·广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(

) A．20π

C．5π

B．205π

355π

6D．解析：选D

由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径为R＝h2r2＋2＝15445355π1＋＝，∴该球的体积V＝πR3＝×π＝．

4233262．(2016·河南省六市第一次联考)三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为(

)

25A．π

383C．π

3B．25π

283π

2D．解析：选D

由题可知，△ABC中AC边上的高为15－32＝6，球心O在底面ABC5的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(6－x)2，解得x＝6，4PC275832∴R2＝x2＋＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S＝4πR28883＝π，故选D．

2

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(

) 16A．π

3C．16π

B．32π

3D．24π

解析：选B

设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2．所以432π体积为πR3＝．

332．(2016·长春市质量检测(二))

几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) 32A．

340C．

32πB．16－

38πD．16－

313解析：选C

该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为2×2×4－40×2×2×2＝．故选C．

33．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相

28π垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(

) 3

A．17π

C．20π

B．18π

D．28π

1解析：选A

由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，441428得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2．因383373此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π．故选A．

844．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．

解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝3答案：

25．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3．

1＋2×13×1＝．

22

解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为

18V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π．

33

8答案：π

3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

) A．7

C．5

B．6 D．3 解析：选A

设圆台较小底面半径为r，

则另一底面半径为3r．

由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．

2．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为(

) A．6

C．12

B．8 D．24 解析：选C

由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．

13由题意，得×6××22×h＝23，

34∴h＝1，

∴斜高h′＝12＋32＝2，

1∴S侧＝6××2×2＝12．故选C．

23．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

1A．＋2π

37πC．

3B．13π

65π

2D．解析：选B

由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其1113体积为π×12×2＋×π×12×1＝π．

2364．(2017·兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长

为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为(

)

A．3π

2B．3

2C．3π

D．3 解析：选A

由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为34333，故体积为π＝π，故选A．

23225．(2016·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x的值是(

)

A．7

C．4

B．27 D．5 解析：选C

分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，3＋312故其体积V＝××4×CP＝37，∴CP＝7，∴x＝32＋72＝4，32故选C．

6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝________．

解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－8π16π＝，33

V2＝4π32π×23＝，V1∶V2＝1∶2．

33答案：1∶2 7．(2016·合肥市第二次质量检测)已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________．

解析：由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R＝12＋12＝2，该球的表面积为4πR2＝8π．

答案：8π

8．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝23，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD．

又OC＝CD2－OD2＝1，

113∴V三棱锥A-．

BCD＝×2×23×1×1＝33答案：3

39．(2017·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．

解析：如图，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为22，所以AC＝4．在Rt△AOO15中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π．

2答案：25π

10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V圆台－V圆锥11148＝(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－π×22×2＝π．

333三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2017·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为(

)

3A．

41C．

21B．

43D．

81解析：选C

由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四2棱锥，其体积为4．易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比1值为，故选C．

22．(2017·唐山统考)三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(

) 4πA．

3C．8π

B．4π

D．20π

解析：选C

由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝32×3×＝1，外接球球心到△ABC的外接圆23圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C．

3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：

(1)该几何体的体积．

(2)截面ABC的面积．

解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2．

由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，

则该几何体的体积V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2

111＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6．

232(2)在△ABC中，AB＝22＋4－32＝5，

BC＝22＋3－22＝5，

AC＝222＋4－22＝23．

1则S△ABC＝×23×52－32＝6．

2