小结优秀教学设计

第四章《圆与方程》小结与复习

教学目标：

1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；

（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。

3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

教学重点：各知识点间的网络关系。

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

教学过程

教学流程

教师活动

学生活动

设计意图

回顾本章知识，形成知识网络，加强知识间的联系。

环节一： 知识梳理

1.圆的方程有几个？它的圆心、半径是什么？

学生回答问题，并

默写方程及公式。

2.直线与圆的有几种位置关系？怎样进行判断？

3.圆与圆的有几种位置关系？怎样进行判断？

4.空间两点间的距离公式是什么？

环节二：

题型

一 圆的方程

例1

根据条件求下列圆的方程：

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．

思考：求圆的方程应先确定圆的什么？

解:(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由

复习圆的方程及其求法。

3x＋2y－15＝0，x＝7，解得

3x＋10y＋9＝0y＝－3.

学生思考问题，代表回答。

∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a. 由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42. 将y＝x代入(x－a)＋(y－b)＝10，

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝

的垂直平分线。

22

学生解释怎样求线段

2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. a2＋b2－10∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2. a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4，b＝－4.

学生独立解答本题，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)＋(y＋4)＝10. 方法规律： 22

求圆的方程需要三个独立条件．待定系数法是求圆的方程的基本方法，当题设中圆心的条件明确时，常设标准方程；当题设中圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式时，常设圆的一般方程．

题型二 直线与圆的位置关系

例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)＋(y－1)＝1的切线，求此切线的方程. 思考：圆的切线与圆有什么位置关系？

解：因为(4－3)＋(－3－1)＝17>1，所以点A在圆外. (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k(x－4).即kx－y－3－4k＝0，

因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，

所以2222展示学生解题步骤。

|3k134k|k121，即

|k4|k21，所以

15k28k16k21,解得k.

8所以切线方程为y3即15x8y360.

(2)若直线斜率不存在，

圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4. 综上，所求切线的方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.

15(x4),

8

总结解题方法，提高解题能力

学生讨论总结解题方法

例3.已知圆C1：(x＋3)＋(y－1)＝4.若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程。

思考：由直线被圆截得的弦长可想到什么？

解：由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，

因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d22

思考问题。

22(3)21。由点到直线的距|3k14k|1k2

，从而

离公式得d

k(24k7)0.即k0或k以直线l的方程为

7,所24

y0或7x24y280。

方法规律：

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通学生设方程，求直线到圆心的距离，并等于半径，进而求k. 进一步理解直线的方程及其求法,圆的切线与圆的关系。 过解直线方程与圆的方程组成的方程组，

根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．

(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．

(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；

(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线，求过点(x0，y0)的圆的切线方程时，要判断点(x0，y0)在圆上还是在圆外，若点(x0，

y0)在圆外，则切线有两条，要注意斜率不

存在的情况也可能符合题意．若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

题型

三 圆与圆的位置关系

例4.已知圆C1:x+y+2x-6y+1=0,圆C2:x+y-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

思考：两圆的交点坐标是否满足两圆方程相减所得方程？求圆的弦长应想到什么公式？

解:设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则A,B两点坐标满足方程组

22xy2x6y10,①22xy4x2y110,②

2222

学生回答弦长公式。

①-②得3x-4y+6=0. 因为A,B两点坐标都满足此方程, 所以,3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直

线方程.

易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3. 又C1到直线3x-4y+6=0的距离为

由弦长求圆心到直线

d=134363242

进一步掌握弦长公式及点到直线的距离公式。

=. 95的距离，再结合点到直线的距离公式求2

249所以,AB=2rd=23=, 55222K。

即两圆的公共弦长为规律方法： 24.

5

两圆相交常见问题的解法

(1)若两圆相交,只要x,y的系数对应相等,两圆方程作差所得方程即为两圆公共22

弦所在直线方程. (2)求两圆公共弦长,①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标,再利用两点间距离公式求解即可;②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长. 题型四 与圆有关的最值问题

例5 已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.求: y(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大x22

学生回答老师的问题，讨论总结解题方法。

总结规律方法，进一步理解直线与圆的位置关值和最小值;(3)x+y的最大值和最小值. 思考：义？

解:原方程可化为(x-2)+y=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆. (1)y的几何意义是圆上一点与原点连线xy=k,即y=kx. x2222

系。

y22、y-x、x+y分别有什么几何意x

的斜率,所以设

当直线y=kx与圆相切时,斜率取最大值和最小值, 此时所以2k0k21

=3,解得k=±3,

y的最大值是3,最小值是-3. x

(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值, 此时20b2

=3,解得b=-2±6, 所以y-x的最大值是-2+6,最小值是-2-6. (3)x+y表示圆上的一点与原点的距离的22

平方, 由平面几何知识知,在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值, 又圆心到原点的距离为222000=2, 学生回答问题。

学生计算两圆的方程相减。

所以x+y的最大值是(2+3)=7+43,x+y的最小值是2(2-3)=7-43.

22222

规律方法 利用数形结合解决有关圆的最值问题

利用数形结合解决最值问题时,首先将代数表达式赋予几何意义,画出图形,根据图形的几何性质,观察出最值出现的时机和位置,从而解决求代数表达式的最值问

学生利用弦长公式求题.这是用几何方法解决代数问题的常用弦长。

方法,即数形结合。

题型五 两点间的距离公式

例 6. 已知两点 P(1,1,1)与Q(4,3,1). (1)求 P，Q 之间的距离；

进一步理解圆与圆的位置关系，及圆的弦长公式。

(2)求 y 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.

解:(1).|PQ|(41)2(31)2(11)213（2）.设点M的坐标为（0，y，0）

则|MP|= (01)2(y1)2(01)2(y1)22

学生由例题思考两圆公共弦所在直线方程

|MQ|=(04)(y3)(01)(y3)172222的求法及公共弦长的求法。

故(y－1)2＋2＝(y－3)2＋17，解得y＝

23,所以，点M的坐标为4课堂练习

(0,0,23)4

思考、回答问题。

1.以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(

) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16

B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)＋(y＋4)＝9

D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9

【解析】以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为4。所以选B。

2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(

) 22

总结规律，提高解决有关两圆相交的问题。

A.相切

B.相交

C.相离 D.不确定

【解析】解析

∵点M(a，b)在圆x＋y2222

＝1外，∴a＋b＞1.所以圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离d1ab221r，则直线与圆的位由几何意义设直线的方程解决本题。

置关系是相交。所以选B。

3.两圆x＋y＝9和x＋y－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(

) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切

【解析】

圆C1：x＋y＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3；

圆C2的方程化为(x-4)+(y+3)=16,圆心22222222

为C2（4，-3），半径长为r2=4，圆心距|C1C2|=

4(3)522。因为

|r1-r2|<|C1C2|<3+4,所以两圆相交。所以选B。

4.已知点 A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：|AB|＝

4－1＋2＋2＋3－11

＝89，

|BC|＝

6－42＋－1－22＋4－32

＝14，

|AC|＝

6－12＋－1＋22＋4－11275，

∵|BC|＋|AC|＝|AB|，

∴△ABC 为直角三角形.故选C。

5.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________. 【解析】

设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离2222

222从图形上思考，回答问题。

掌握＝

y22、y-x、x+y的x几何意义，进一步提高利用数形结合解决问题的能力。

22等于1()0,即圆心（1,2）位于2

直线kx－y＝0上，于是有K-2=0，即k=2.因此所求直线的方程是2x－y＝0.

6.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)＋(y＋2)＝25截得的弦长为8，求直线l的方程. 解：圆(x＋1)＋(y＋2)＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5. ①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，

由题意可知直线x＝－4符合题意. ②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0. 由题意可知

2222

学生思考，

师生共同总结。

(|k24k3|1k28学生利用距离公式独

)2()225，解得

2立求|PQ|，代表回答。

表示出|MP|、|MQ|，学生化简|MP|=|MQ

学生独立完成此练习。

总结规律，进一步掌握数形结合的作用。

4k,即所求直线的方程为

34x+3y+25=0. 综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.

巩固距离公式

利用练习进一步巩固本章所学知识，提高解题能力。

环节三：

课堂小结 1.圆的方程：标准方程

学生回顾，总结. 2引导学生对所学的知识进行小结，有利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记(xa)2(yb)2r2

一般方程 222 X+y+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0) 2.直线与圆的位置关系的判断方法; (1).联立直线与圆的方程. (2).圆心到直线的距离与圆半径的大小。

3.圆与圆的位置关系的判断方法

（1）联立圆的方程；

（2）圆心距与半径的关系。

忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。