1.2.1 充分条件与必要条件教学目标

§1.2充分条件与必要条件（第一课时）

教学目标：使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．

教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件；

课

型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. 二、活动尝试

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若x＝y，则x2＝y2

（2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2>1，则x>1 （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 推断符号“”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. 三、师生探究

命题(1)、

(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”

说明：

“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。

四、数学理论

1.什么是充分条件？什么是必要条件？

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；

回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 命题(1)中因x＝y

x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；

命题(2)中因a = 0

ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0

a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；

命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件.

x2>1

x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件. 命题4)中，因x＝1或x＝2

x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.

1

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即pq，而q

p. (2)必要不充分条件，即：p

q，而qp. (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp. (4)既不充分又不必要条件，即p

q，又有q

p. 2.充分条件与必要条件的判断

（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。

五、巩固运用

例1、

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? 2（1）若

x=1,则x-4x+3=0;（2）若f(x)=x,则f(x)为增函数; 2（3）若x为无理数,则x为无理数

. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件. 例2

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2

（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；

⑶由pq，即a>b

a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2>b2a>b，q不是p的充分条件，p不是q的必要条件. 综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；

综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 2例3.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x+x-6)＞0，则┐p是┐q的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

四、课后作业：

P10 练习题完成在书上。

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